(普查练习)第6课 二次函数与幂函数-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第6课 二次函数与幂函数 普查与练习6　　　　二次函数与幂函数 1．幂函数 a．幂函数的概念与图像 (1)(2023汇编，10分)已知函数f(x)为幂函数． ①若f(x)＝(m2－m－1)xm2＋2m－3，且其图像与两坐标轴都没有交点，则实数m＝(　A　) A．－1　　　 B．2 C．3 D．2或－1 ②若2f(4)＝f(16)，则f(x)的解析式是(　A　) A．f(x)＝，x≥0 B．f(x)＝，x>0 C．f(x)＝ D．f(x)＝，x≥0 解析：①因为函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋2m－3是幂函数， 所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时， f(x)＝x5，其图像过原点，即与两坐标轴有交点，不合题意； 当m＝－1时，f(x)＝，其图像与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m＝－1.故选A. ②因为f(x)为幂函数，所以设f(x)＝xα. 因为 2f(4)＝f(16), 所以2×4α＝16α，即＝2，解得α＝，所以f(x)的解析式是f(x)＝x＝，x≥0.故选A. (2)(2020四川成都调研，5分)已知函数y＝ax－3－(a>0且a≠1)的图像恒过定点P.若点P在幂函数f(x)的图像上，则幂函数f(x)的图像大致是(　A　) A B C D 解析：易得函数y＝ax－3－(a>0且a≠1)的图像恒过定点P.设幂函数f(x)＝xα，则3α＝，解得α＝－1，所以f(x)＝，所以幂函数f(x)的图像大致是选项A中的图像．故选A.　 (3)(经典题，5分)当α∈ 时，幂函数y＝xα的图像不可能经过(　D　) A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第二、四象限 解析：y＝x－1的图像经过第一、三象限，y＝x的图像经过第一象限，y＝x的图像经过第一、三象限，y＝x3的图像经过第一、三象限，所以当α∈{－1，，1，3}时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第二、四象限．故选D. b．利用幂函数的图像与性质比较大小 (4)(2021浙江期末，4分)已知实数a，b满足等式a3＝b5，给出下列五个关系式：①1<b<a；②a<b<－1；③0<b<a<1；④－1<a<b<0；⑤a＝b，其中可能成立的关系式有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 解析：在同一坐标系中画出函数y＝x3和y＝x5的图像，如图所示： 由图可知，在(1)处a<b<－1；在(2)处－1<b<a<0；在(3)处0<a<b<1；在(4)处1<b<a；在两曲线的三个交点处均满足a＝b，所以①②⑤正确．故选C. (5)(2021四川成都月考，5分)设x，y，z为正数，若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则(　B　) A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y 解析：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k， ∴2x＝2k＋1，3y＝3k＋1，5z＝5k＋1. ∵k＜－1，∴k＋1＜0， ∴5k＋1＜3k＋1＜2k＋1， 即5z＜3y＜2x.故选B. (6)(经典题，5分)已知点(m，9)在幂函数f(x)＝(m－2)xn的图像上，设a＝f(m－)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　A　) A．a<c<b B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c 解析：因为函数f(x)＝(m－2)xn是幂函数，所以 m－2＝1，解得m＝3.又点(3，9)在f(x)的图像上，所以3n＝9，解得n＝2，所以f(x)＝x2，所以f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增． 因为m－＝3－＝，ln＝－ln3，＝， 且＝<＝，所以0<<<1<ln3， 所以<<f(ln3)＝f(－ln3)，所以a，b，c的大小关系为a<c<b.故选A. c．利用幂函数的图像与性质解不等式 (7)(2023汇编，10分)已知幂函数f(x)的图像经过点， ①不等式f(x＋1)<f(10－2x)的解集为__(3，5)__； ②设g(x)＝x3，x∈(0，＋∞)，则不等式g(x)<f(x)的解集为__(0，1)__． 解析：①设幂函数f(x)的解析式为f(x)＝xα(α∈R)， 因为函数f(x)的图像经过点， 所以＝4，解得α＝－，所以f(x)＝x－＝ (x>0)． 易知当x∈(0，＋∞)时， f(x)为减函数， 所以不等式f(x＋1)<f(10－2x)等价于 解得3＜x＜5， 所以不等式的解集为(3，5)． ②由f(x) ＝在(0，＋∞)上单调递减，g(x)＝x3在(0，＋∞)上单调递增，且两函数的图像均过点(1，1)，可作出函数图像，如图所示， 所以不等式g(x)<f(x)的解集为