一元二次函数与幂函数-高一上学期必修一同步导学案

一元二次函数与幂函数 【考纲解读】 1、理解一元二次函数和幂函数的定义； 2、掌握一元二次函数和幂函数的图像与性质，能够运用一元二次函数和幂函数的图像与性 质熟练解答相关的数学问题。 【知识精讲】 一、一元二次函数的概念： 1、一元二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数，叫做一元二次函数； 2、二次函数常见的表示式： (1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)； (2)顶点式：ya(x+ b4ac-bi 2 4a 其中顶点坐标是（-b,4ac-b 2a (3)零点式：y-a(x-x)(x-x),其中x,x是方程ax2+bx+c-0(a≠0)的根，也是抛物 线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标。 二、一元二次函数的图像： 1、二次函数的图像： (1)一元二次函数的图像是一条抛物线： (2)当a>0时，一元二次函数图像的抛物线开口向上：当a<0时，一元二次函数图像的 抛物线开口向下。 2、二次函数的图像的作法 作一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的基本方法是：①确定一元二次函数图像的抛物 b 线开口方向；②确定一元二次函数图象的对称轴x=.;③求出一元二次函数图象的顶点 2a 坐标-b4ac-b )；④求出一元二次函数图象与x轴的交点的横坐标，可以通过解方 2a 4a 程ax2+bx+c-O(a≠0)得到：⑤作出一元二次函数的大致图象。 三、一元二次函数的性质： 1、一元二次函数y=ax+bx+c(a>0)的性质： b 当a>0时，一元二次函数y=ax2+bx+ca≠0)图像的抛物线开口向上，对称轴为x= 2a 顶点坐标是(-b,4ac-b.函数在区间《-m, b )上单调递减，在区间(. 6 2a'4a 2a 2a +四)上单调递增，当力时，函数y取得最小值4如c- -,无最大值；方程ax2+ 4a bx+c-0(a≠0)的判别式是4=B-4ac,(1)当4>0时，一元二次函数的图像与x轴有两 个不同的交点，(2)当4=0时，一元二次函数的图像与x轴只有一个交点，(3)当< 0时，一元二次函数的图像与x轴没有交点： 2、二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的性质： 6 当a<0时，一元二次函数yax2+bx+ca≠0)图像的抛物线开口向下，对称轴为x= ,顶 2a b 4ac-b2 b 点坐标是( ),函数在区间(-∞，一 b )上单调递增，在区间(- 2a Aa 2a 2a ）上单调递减，当x= 20时，函数y取得最大值4ac- 2 4a 一，无最小值：方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的判别式的判别式是4=？-4ac,(1)当4>0时，一元二次函数的图像与 x轴有两个不同的交点，(2)当4=0时，一元二次函数的图像与x轴只有一个交点，(3) 当4<0时，一元二次函数的图像与x轴没有交点： 四、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系： ax2 +bx+c-0 4>0 4=0 4<0 a≠0) x≠X2 X=x 没有实数根 y=ax2+bx+c (a>0) ax2+bx+c>0 (-°，x）U (-∞，x)U (a>0)的解集 (X3,+o） (x,+o) R ax2+bx+c<0 (x,x2) 0 0 (a>0)的解集 「思考问题」 对于一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0),当a<0时，应该怎样处理才能运用 上表的关系进行解答？ 五、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间(a,b)上的最值： 1、影响一元二次函数yax2+bx+c(a≠0)在闭区间(a,b)上最值的因素： 影响一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间(a,b)上最值的因素有两个：①二次项系 a的取值。 数a的取值：②对称轴X. 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间(m,n)上最值的确定： 确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间(m,n)上最值的基本方法是：①根据二次项系 数a的取值判断二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的开口方向：②根据对称轴x. b的取 2a 值判断二次函数yax2+bx+c(a≠0)在闭区间(m,n)上的单调性：③求出二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)在闭区间(a,b)上的最值。 六、一元二次函数的综合问题： 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的综合问题主要包括：①一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)与一元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)，一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0) (a≠0)知识的综合：②一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间〔a,b)上最值问题中含 有参数的问题；③一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与幂函数