(普查练习)第5课 函数的基本性质-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第5课 函数的基本性质 普查与练习5　　　　函数的基本性质 1．函数的单调性 a．函数的单调性与单调区间 (1)(2023汇编，10分)判断下列各函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明结论． ①f(x)＝2x－；　　　　②f(x)＝，x∈(－1，0)． 答案：①函数f(x)在R上单调递增，证明见解答过程　②函数f(x)在(－1，0)上单调递增，证明见解答过程 解析：解：①函数f(x)在R上单调递增．(1分) 证明如下： 易知函数f(x)的定义域为R . 任取x1，x2∈R，设x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝2x1－－2x2＋＝2x1－2x2＋＝(2x1－2x2)·. ∵x1＜x2，∴2x1＜2x2，即2x1－2x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)在R上单调递增．(5分) ②函数f(x)在(－1，0)上单调递增．(6分) 证明如下： 任取x1，x2∈(－1，0)，设x1<x2，则0<x1x2<1， ∴f(x1)－f(x2)＝－＝－＝<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在(－1，0)上单调递增．(10分) (2)(经典题，5分)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　B　) A．f(x)＝－2x　　　　B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝－ln(x＋1) 解析：A选项， f(x)＝－2x＝＝ .　 ∵在(0，＋∞)上，y＝为增函数， y＝2x为增函数，且两函数值均为正数， ∴y＝＋2x为(0，＋∞)上的增函数，且y>0， ∴y＝为(0，＋∞)上的减函数， ∴f(x)＝－2x在(0，＋∞)上单调递减， 故不符合题意； B选项， f(x)＝＝＝2－， ∴f(x)的图像是由反比例函数y＝－的图像向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的，如图： ∴由图像可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(－2，＋∞)．∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故符合题意； C选项， f(x)＝＝2x＋. 如图，根据对勾函数y＝ax＋(a>0，b>0)的图像可知其单调增区间为(－∞，－]，[，＋∞)，单调减区间为[－，0)，，∴可得函数f(x)＝2x＋在(0，]上单调递减，故不符合题意； D选项，由f(x)＝－ln(x＋1)可知函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)． ∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)＝－ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合题意． (3)(2020重庆沙坪坝校级月考，5分)若函数f(x)＝log[(2a－1)|x|＋3]的定义域为R，则下列叙述正确的是(　C　) A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在[0，＋∞)上单调递增 解析：因为函数f(x)＝log[(2a－1)|x|＋3]的定义域为R，所以(2a－1)|x|＋3>0在R上恒成立，所以2a－1＞0. 设t＝(2a－1)|x|＋3，则函数y＝f(x)由函数y＝logt与t＝(2a－1)|x|＋3复合而成． 当x∈(－∞，0]时，函数t＝(2a－1)|x|＋3＝(1－2a)x＋3单调递减，而函数y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增； 当x∈(0，＋∞)时，函数t＝(2a－1)|x|＋3＝(2a－1)x＋3单调递增，而函数y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 综上所述，函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以选项ABD错误，选项C正确．故选C. b．根据函数的单调性求参数的取值范围 (4)(2023汇编，25分)①已知函数f(x)＝其中a＞0，且a≠1，若对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0成立，则实数a的取值范围是(　C　) A. B. C. D. ②已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　D　)(2020海南) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) ③若在区间(0，m)内任取实数x1，x2(x1≠x2)，不等式(x1lnx2－x2lnx1)(x1－x2)＜0均成立，则实数m的最大值是(　A　) A.e B. C. D．1 ④若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是(　B　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] ⑤若函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　B　) A. B. C.