(普查练习)技巧卷-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

普通高等学校招生全国统一考试理科数学总复习 方法技巧普查卷 视频精讲通过一轮教案APP扫码获取 一、数学思想方法在函数与导数中的应用 1．(5分)若a>b>1，0<c<1，则下列说法中正确的是(　C　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 解析：(法一)对于选项A，可考虑利用函数y＝xc求解．∵c＞0，∴f(x)＝xc为增函数． ∵a>b，∴f(a)>f(b)，即ac>bc，故选项A错误． 对于选项 B，不等式两边同除以ab, 则原不等式转化为 bc－1<ac－1.设函数f(x)＝xc－1 . ∵c<1，∴c－1<0，∴f(x)＝xc－1为减函数． ∵b<a，∴f(b)>f(a)，即bc－1>ac－1，故选项B错误． 对于选项D，利用换底公式，可得logac＝，logbc＝，即<.∵0＜c＜1，∴lgc<0，∴>.又∵a>b>1，∴lga<lgb，即a＜b.显然与已知矛盾，故选项D错误． 对于选项C，∵a>b>1，∴lga>lgb>0，∴>>0，∴>.∵0<c<1，∴lgc<0，∴<，∴alogbc<blogac，故选项C正确． (法二)令a＝4，b＝2，c＝，选项 A：ac＝＝＝2, bc＝＝. 2<显然不成立． 选项B：abc＝4，bac＝2×＝2×2＝4. 4<4显然不成立． 选项C：alogbc＝4×log2＝4×(－1)＝－4，blogac＝2×log4＝log42＝log4＝－1，－4＜－1成立．选项D：logac＝log4＝－，logbc＝log2＝－1.－<－1显然不成立．故选项C正确． (本题普查利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性或取特殊值法比较大小，以及函数与方程思想、一般与特殊思想的应用) 2．(5分)已知函数f(x)满足＝1，若函数y＝x3＋1的图像与函数y＝f(x)的图像有m个交点：(xi，yi)，i＝1，2，…，m，则i＝(　B　) A．0 B．m C．2m D．4m 解析：(法一)∵函数f(x)满足＝1，∴函数f(x)的图像关于点(0，1)对称．易知函数y＝x3＋1的图像也关于点(0，1)对称，∴函数y＝x3＋1与f(x)的图像的交点可能为：①(0，1)；②关于(0，1)对称的成对的点，且每对的纵坐标之和为2.若(0，1)不是两图像的交点，则两图像交点有对，i＝2×＝m；若(0，1)是两图像交点，则两图像交点还有对，i＝1＋2×＝m.∴i＝m. (法二)令f(x)＝x＋1，显然满足＝1.由x＋1＝x3＋1，即x＝x3，解得x1＝1，x2＝－1，x3＝0，∴y＝x＋1，y＝x3＋1图像的交点为(1，2)，(－1，0)，(0，1) ，即m＝3，∴i＝1＋2＋0＝3＝m. (本题普查利用函数的性质或取特殊函数解决问题，以及一般与特殊思想的应用) 3．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ax3－3x2(a∈R)． (1)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值； 答案：a＝2　 解：∵f(x)＝ax3－3x2，∴f ′(x)＝3ax2－6x. ∵x＝1是函数f(x)的一个极值点， ∴f ′(1)＝0，即3a－6＝0，解得a＝2.(3分) 当a＝2时，f ′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)． 当x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当0<x<1时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， ∴x＝1是函数f(x)的极小值点，故a的值为2.(4分) (本题普查已知函数极值点求参数值的2个要领，以及函数与方程思想的应用) (2)若函数f(x)在区间(－1，0)上是增函数，求a的取值范围； 答案：[－2，＋∞)　 解：(法一)依题意，得x∈(－1，0)时，f ′(x)＝3ax2－6x≥0恒成立， 等价于x∈(－1，0)时，(3ax2－6x)min≥0.(5分) 当a＝0时，f(x)＝－3x2在(－1，0)上显然是递增的； 当a>0时，f ′(x)≥0在(－1，0)上显然成立； 当a<0时，若f ′(x)≥0在(－1，0)上成立， 只需≤－1(或f ′(－1)＝3a＋6≥0)，解得－2≤a<0. 综上所述，a的取值范围是 [－2，＋∞)．(9分) (法二)依题意，得x∈(－1，0)时，f ′(x)＝3ax2－6x≥0恒成立， 即3ax2≥6x，x∈(－1，0)恒成立．(5分) ∵x2>0，∴a≥，x∈(－1，0)恒成立，等价于a≥max，x∈(－1，0)． 当x∈(－1，0)时，反比例函数y＝的值域是(－∞，－2)，　 故a≥－2，即a的取值范围是 [－2，＋∞)．(9分) (本题普查已知函数的单调性求参数范围问题的解题思路、恒成立问题的不同解法，以及转化与化归思想、分类与整合思想的应用) (3)设函数g(x