(普查练习)第14课 导数的应用-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第14课 导数的应用 普查与练习14 Ⅰ　　　　利用导数研究函数的单调性与极值 1．利用导数研究函数的单调性 a．讨论函数的单调性 (1)(2023改编，12分)已知函数f(x)＝lnx－x2＋2ax＋1. (Ⅰ)若a＝0，求函数f(x)的单调区间； 答案：f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，e) 解：易知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)． 当a＝0时，f(x)＝x2lnx－x2＋1， 所以f′(x)＝xlnx－x. 令f′(x)＝xlnx－x＝0，则lnx－1＝0，解得x＝e. 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(0，e)时，f′(x)<0, 所以函数f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，e)．(5分) (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性． 答案：当a≤0时，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增；当0＜a＜e时，f(x)在(0，a)和(e，＋∞)上单调递增，在(a，e)上单调递减；当a＝e时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>e时，f(x)在(0，e)和(a，＋∞)上单调递增，在(e，a)上单调递减 解：f′(x)＝(x－a)lnx－x＋a＝(x－a)(lnx－1)．(7分) ①当a≤0时，令f′(x)>0，解得x>e；令f′(x)＜0，解得0<x＜e， 所以f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．(8分) ②当0＜a＜e时，令f′(x)>0，解得x>e或0<x＜a； 令f′(x)＜0，解得a＜x＜e， 所以f(x)在(0，a)和(e，＋∞)上单调递增，在(a，e)上单调递减．(9分) ③当a＝e时，f′(x)≥0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(10分) ④当a>e时，令f′(x)>0，解得x>a或0<x＜e； 令f′(x)＜0，解得e＜x＜a， 所以f(x)在(0，e)和(a，＋∞)上单调递增，在(e，a)上单调递减．(11分) 综上，当a≤0时，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增； 当0＜a＜e时，f(x)在(0，a)和(e，＋∞)上单调递增，在(a，e)上单调递减； 当a＝e时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>e时，f(x)在(0，e)和(a，＋∞)上单调递增，在(e，a)上单调递减．(12分) b．已知函数的单调性求参数的取值范围 (2)(2023汇编，15分)已知函数f(x)＝x3－ax－1. ①若f(x)在(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围为__[3，＋∞)__； ②若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，则实数a的值为__3__； ③若f(x)在(－1，1)上不单调，则实数a的取值范围为__(0，3)__． 解析：①(法一)由题意， f ′(x)＝3x2－a，由f(x)在(－1，1)上单调递减，得f ′(x)≤0在 (－1，1)上恒成立，即a≥3x2恒成立．又因为当x∈(－1，1)时，函数y＝3x2的值域是[0，3)，所以实数a的取值范围是[3，＋∞)． (法二)当a≤0时，f ′(x)＝3x2－a≥0，显然f(x)没有单调递减区间，不合题意． 当a＞0时，令f ′(x)＝3x2－a＝0，得x＝±， 易知当x∈时， f(x)单调递减． 若f(x)在(－1，1)上单调递减，则(－1，1)应为的子区间，即≥1，解得a≥3.所以实数a的取值范围是[3，＋∞)． ②由①知f(x)的单调递减区间为( －， )， 所以＝1，解得a＝3. ③由①知，当a≤0时， f(x)在R上单调递增，不合题意．当a>0时，由f ′(x)＝0，得x＝±，因为f(x)在(－1，1)上不单调，所以0<<1，解得0<a<3，所以a的取值范围是(0，3)． (3)(2023改编，5分)若函数f(x)＝ax2＋xlnx－x存在单调递增区间，则a的取值范围是____． 解析：∵f(x)＝ax2＋xlnx－x存在单调递增区间，∴f′(x)＝ax＋lnx>0在(0，＋∞)上有解，即a>－在(0，＋∞)上有解．令g(x)＝－，x>0，则g′(x)＝，当x>e时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当0<x<e时，g′(x)<0，g(x)单调递减， ∴g(x)min＝g(e)＝－，∴a>－.∴a的取值范围是. c．利用函数的单调性解决不等关系问题 (4)(经典题，5分)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是____． 解析：由题意得f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥－2＋2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立，所以f(x)在R上单调递增； 又f(－x)＋f(x)＝(－x)3＋2x＋e－x－ex＋x3－2x＋ex－＝0， 所以f(x)