专题6-2 数列求和归类-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题6-2数列求和归类 目录 一、热点题型归纳 【题型一】等差等比数列求和 2 【题型二】分组求和 3 【题型三】倒序求和 5 【题型四】错位相消求和 7 【题型五】裂项相消常规型 9 【题型六】分段求和 11 【题型七】正负相间求和 14 【题型八】 型裂项相消 15 【题型九】型裂项相消 17 【题型十】型裂项相消 19 【题型十一】型裂项相消 21 【题型十一】“分子分母有理化”型裂项 21 【题型十二】型裂项相消 24 二、真题再现 25 三、模拟检测 33 【题型一】等差等比数列求和 【典例分析】 在等差数列中， .（1）求数列的通项公式； （2）设，求的值. 【全国百强校】甘肃省高台县第一中学高三考试数学（文）试题 【答案】(1) ;（2) 试题解析：(1)设等差数列的公差为，由已知得 解得 ，即 （2)由(1)知 =…+ = 【提分秘籍】 等差等比求和公式： 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比：前n项和公式：Sn＝ 【变式演练】 1.已知数列是等差数列，其前项和为，且,，设. （1）求；（2）求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 试题解析：（1）； （2）， . 2.已知等差数列的公差不为零， ，且成等比数列． （1）求的通项公式；（2）求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 试题解析：（1）设数列的公差为，由题意得，即，于是，又因为，所以（舍去），，所以． （2）令，由（1）知，故是首项为25，公差为－6的等差数列．从而． 【题型二】分组求和 【典例分析】 已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）设等比数列的公比为，由不等式的解集为得到和的值，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）中的通项公式得到的通项公式，由的通项公式的特点进行等差数列和等比数列分组求和，进而得到的前项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为. 因为关于的不等式的解集为，所以，又，得， 所以，解得.所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得，. 因为，所以， 所以数列的前项和 . 所以. 【提分秘籍】 基本规律 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 【变式演练】 1.已知在等比数列中，，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用等差中项的性质列方程，由此求得，进而求得数列的通项公式； （2）利用分组求和法求得. 【详解】 （1）设等比数列的公比为，则，则，， 由于是和的等差中项，即，即，解得. 因此，数列的通项公式为； （2）， . 2.已知正项数列满足：，，. （1）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （2）若，设，，求数列的前项和. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）把已知等式左边因式分解，由数列为正项数列得，但需对讨论，，不是等比数列，否则是等比数列； （2）由（1）求得，即可得，用分组求和法求和． 【详解】 解：（1）∵， 又是正项数列，可得，∴， ∴当时，数列不是等比数列；当时，易知，故， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2. （2）由（1）知，，， ∴. 【题型三】倒序求和 【典例分析】 已知函数． （1）证明函数的图像关于点对称; （2）若，求； 【答案】（1） 证明：见解析；（2）； 【解析】 试题分析：（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且, 则有 因此函数图像关于点对称 4分 （2）由（1）知当时， ①② ①+②得8分 【提分秘籍】 基本规律 倒序求和，多是具有中心对称的 【变式演练】 1.设奇函数对任意都有 求和的值； 数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明； 【答案】解：（1），；（2）是等差数列. 【解析】 【分析】 （1）根据，且f（x）是奇函数，将代入，可求的值，再结合奇函数得到．令，即可求得结论； （2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得数列{an}是等差数列． 【详解】 解：（1）∵，且f（x）是奇函数 ∴ ∴，故 因为，所以． 令，得，即． （2）令 又 两式相加． 所以， 故， 又．故数列{an}是等差数列． 2.已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是. （1）求证：