2023届高考数学一轮复习-导数与函数的单调性

5.3导数在研究函数中的应用 5.31 函数的单调性（第一课时） 选择题 填空题 解答题 题号 题量 分值 题号 题量 分值 题号 题量 分值 2019全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ) 13 1 5 20 1 12 2020年新高考全国卷Ⅰ 21 1 12 2021年新高考全国卷Ⅰ 7 1 5 22 1 12 2022年新高考Ⅰ卷 7、10、12 3 15 15 1 5 22 1 12 近年高考对导数在研究函数中的应用知识的考查情况 考纲要求 学习目标 核心素养 1．了解函数的单调性与导数的关系。 2．能利用导数研究函数的单调性。 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。 1．能根据导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。 2．通过构造合理的函数，运用导数判断其单调性，解决有关不等式问题，发展数学抽象、数学运算素养。 【再现型题组】 自查自纠 2、解析：C在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数。 4、解析：函数的定义域是(0，＋∞)，单调递减区间为(0,1)。 1、解析：D。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 可导 > < 定义域 > < f′(x)>0 f′(x)<0 5、 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－x； (2)y＝ex－x＋1. 关于利用导数证明函数单调性的问题： (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0. x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ － 0 ＋ f(x)  1   1  方法技巧　转化与化归思想在单调性中的应用 运用导数这个工具研究函数的单调性，体现了转化与化归的数学思想，凸显了导数在研究函数单调性方面的优越性，在平时的学习中应予以高度重视． 回顾大单元框架 课堂小结 1.本节课复习了哪些知识？ 2.解决了哪些类型的问题？ 3.体现了哪些数学思想方法？ 4.同学们还有哪些疑惑啊？ 作业布置 要求： 1、整理并完成学案。 2、把易错点和例题及其变式整理到典题本上。 敬请批评指正 谢谢聆听 24 3、解析：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)， 由f′(x)<0，得0<x<4， ∴函数f(x)的单调递减区间为(0,4)． 函数的单调性 (1)设函数y＝f(x)在某个区间内_____，若f′(x)___ 0，则f(x)为增函数；若f′(x)_____ 0，则f(x)为减函数． (2)求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①确定f(x)的_______； ②求导数f′(x)； ③令f′(x)____ 0(或f′(x)____ 0)，解出相应的x的范围； ④当_________时，f(x)在相应区间上是增函数；当________时，f(x)在相应区间上是减函数． 解　(1)f′(x)＝3x2－1＝(eq \r(3)x＋1)(eq \r(3)x－1)， 令f′(x)>0，则x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))， 令f′(x)<0，则x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))). ∴f(x)＝x3－x的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，单调减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))). (2)y′＝ex－1，令y′>0，即ex－1>0， 则x∈(0，＋∞)，令y′<0，即ex－1<0，则x∈(－∞，0)， ∴y＝ex－x＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． 利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．注意：如果函数的单调区间不止一个时，单调区间应用“，”、“和”等连接，而不能写成并集的形