3期 圆的标准方程,圆的一般方程-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

书 求圆的方程的题型有很多，如果认真分析题目条 件，根据已知条件的不同采用不同的方法求圆的方程， 可以取得事半功倍的效果．下面就常见的题型进行剖 析，希望能对同学们有所帮助． 一、直接法 例１已知圆Ｃ的圆心为（－１，１），点Ａ（２，－１）在圆 Ｃ上，求圆Ｃ的方程． 解：因为点Ａ在圆Ｃ上， 则Ａ，Ｃ两点间的距离等于圆Ｃ的半径． ｜ＡＣ｜＝ （２＋１）２＋（－２）槡 ２ ＝槡１３． 所以圆Ｃ的方程为（ｘ＋１）２＋（ｙ－１）２ ＝１３． 二、待定系数法 例２求过三点Ｏ（０，０），Ｍ（１，１），Ｎ（４，２）的圆的方 程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 解：设圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０． 因为Ｏ（０，０），Ｍ（１，１），Ｎ（４，２）在圆上， 把它们的坐标代入圆的方程得到关于 Ｄ，Ｅ，Ｆ的三 元一次方程组，即 Ｆ＝０， Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋２＝０， ４Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＋２０＝０ { ． 解得Ｄ＝－８，Ｅ＝６，Ｆ＝０． 所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－８ｘ＋６ｙ＝０． ｒ＝１２ Ｄ ２＋Ｅ２－４槡 Ｆ＝５，－ Ｄ ２ ＝４，－ Ｅ ２ ＝－３． 所以半径为５，圆心坐标为（４，－３）． 三、利用对称性法 例３将圆Ｃ：（ｘ＋１）２＋（ｙ－４）２＝１绕点Ａ（２，－２）按 顺时针方向旋转１８０°得到曲线Ｍ，求曲线Ｍ的轨迹方程． 解：圆Ｃ的圆心坐标为Ｃ（－１，４）． 圆Ｃ按顺时针方向旋转１８０°得到曲线Ｍ的轨迹仍 为圆，半径ｒ＝１． 由题意可知圆心Ｍ与Ｃ（－１，４）关于点Ａ（２，－２） 对称，即Ａ为ＭＣ的中点． 设Ｍ（ｘ，ｙ），根据中点坐标公式有 ｘ－１ ２ ＝２， ｙ＋４ ２ ＝－２． 解得Ｍ（５，－８）． 所以曲线Ｍ的轨迹方程为（ｘ－５）２＋（ｙ＋８）２ ＝１． 四、图形结合 例４已知Ｂ，Ｄ两点在圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上运动，Ａ（ａ， ０）是圆Ｏ内一点（其中０＜ａ＜ｒ），且ＡＢ⊥ＡＤ，四边形 ＡＢＰＤ是矩形，则Ｐ点的轨迹方程是 （　　） （Ａ）ｘ２＋ｙ２＋４ｒ２ ＝０ （Ｂ）ｘ２＋ｙ２＋２ｒ２－ａ２ ＝０ （Ｃ）ｘ２＋ｙ２－２ｒ２＋ａ２ ＝０ （Ｄ）ｘ２＋ｙ２－４ｒ２ ＝０ 解：设Ｐ（ｘ，ｙ），点Ｍ为矩形ＡＢＰＤ两对角线的交点， 且 (Ｍ ｘ＋ａ２ ，ｙ)２ ． 如下图所示， 易知｜ＤＭ｜２ ＝｜ＡＭ｜２ (＝ １２ )｜ＡＰ｜ ２ ＝ １４［（ｘ－ａ） ２＋ｙ２］． 又｜ＤＯ｜２ ＝｜ＤＭ｜２＋｜ＯＭ｜２， 即ｒ２ ＝１４［（ｘ－ａ） ２＋ｙ２］ (＋ ｘ＋ａ)２ ２ (＋ ｙ)２ ２ ， 整理得ｘ２＋ｙ２－２ｒ２＋ａ２ ＝０．故选（Ｃ）． 书 一、方程的形式 圆的标准方程的形式为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２，圆 心为（ａ，ｂ），半径为 ｒ．圆的一般方程的形式为 ｘ２＋ｙ２＋ Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，其中Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０．圆的两种方程 的形式虽然不同，但它们的本质是相同的，并且可以相 互转化，在不同的条件下它们各有优势． 二、方程的特点 圆的标准方程的特点是明确指出了圆心和半径，圆 心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小，这就为进一 步研究圆的有关性质作好了准备． 圆的一般方程进一步突出了圆的方程形式上的特 点：（１）没有ｘｙ这样的二次项；（２）二次项的系数相等． 由圆的一般方程的特点可以较容易地判断一般的二元 二次方程是否表示圆． 三、方程的适用环境 如果题目中涉及到了圆的圆心和半径，则一般用圆 的标准方程求解；如果题目没有给出圆心和半径或者根 据已知条件不易确定圆心和半径时一般考虑使用圆的 一般方程． 四、方程的应用举例 例 求圆心在直线２ｘ－ｙ－３＝０上，且过点（５，２）和 点（３，－２）的圆的方程． 分析一：因为已知与圆心有直接关系，所以可以考 虑圆的标准方程． 解法一：设圆的方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝ｒ２，则 ２ａ－ｂ－３＝０， （５－ａ）２＋（２－ｂ）２ ＝ｒ２， （３－ａ）２＋（－２－ｂ）２ ＝ｒ２ { ． 解得 ａ＝２， ｂ＝１， ｒ＝槡１０ { ． 所以圆的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２ ＝１０． 分析二：因为题目已给出圆过点的信息，所以也可 以用圆的一般方程． 解法二：设圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，则 圆心坐标为 －Ｄ２，－ Ｅ( )２ ，将已知两点坐标代入圆的方 程，将圆心坐标代入已知直线的方程，得 ５２＋２２＋５Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＝０， ３２＋（－２）２＋３Ｄ－２Ｅ＋Ｆ＝０， ２Ｄ－Ｅ＋６＝０ { ． 解得 Ｄ＝－４， Ｅ＝－２， Ｆ＝－５ { ． 所以圆的方程为ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ－５＝０． 点评：确定圆的方程的主要方法是待定系数法．在 用待定系数法求圆的方程时，要善于根据已知条件的特 征来选择圆的方程．如果已知圆心和半径，或圆心到直 线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某 些点，通常