第23期 排列 组合-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 一、数字排列问题 例１用１，２，３，４，５，６这六个数字组成无重复数字的 六位数，其中首位数字大于末位数字，且３和４不在相邻 两个数位的六位数共有多少个？ 错解：分三步考虑： 第一步：首先将１，２，５，６排在如下四个位置（用记 号□表示）上，有Ａ４４种排法； △□△□△□△□△ 第二步：１，２，５，６排好之后产生５个空隙（用记号△ 表示），将３，４插入这５个空隙中，有Ａ２５种排法． 由乘法原理可知，一共有Ａ４４·Ａ ２ ５＝４８０种不同的排 法； 第三步：将这４８０个数分为两类： 第一类：首位数字大于末位数字； 第二类：首位数字小于末位数字． 有一个首位数字大于末位数字的六位数，将首末两 个数字对调，得到一个首位数字小于末位数字的六位 数；反之也对．因此，符合条件的六位数共有４８０２ ＝ ２４０（个）． 剖析：从分析过程看，似乎每一步都有道理，找不出 什么破绽，但仔细分析，思考方法确有错误之处，错在哪 里？错在第三步的分析方法上．一个符合条件的六位数， 对调首末两个数字之后，未必能够得到一个首位数字小 于末位数字且３，４不相邻的六位数．例如，６３１５２４是一个 符合条件的六位数，对调首位数字６和末位数字４，得六 位数４３１５２６．这个六位数４与３相邻了，它不是３，４不相 邻的４８０个数中的一个．因此，在３，４不相邻的六位数中， 首位数字大于末位数字与首位数字小于末位数字的六位 数不能通过只对调首末两个数字来实现一一对应关系． 正解：修改上述解法第三步的分析方法，有一个符 合条件（首位数字大于末位数字且３，４不相邻）的六位 数，如６３１５２４，将这个六位数反序倒写，可得到一个３，４ 不相邻，首位数字小于末位数字的六位数４２５１３６；反之 也对，因此，首位数字大于末位数字且３，４不相邻的六位 数，通过反序对调，可以实现首位数字小于末位数字且 ３，４不相邻的六位数构成一一对应关系．所以，符合条件 的六位数共有 ４８０ ２ ＝２４０（个）． 二、涂色问题 例２用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在 “田”字形的４个小方格内，每格涂一种颜 色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以 反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 错解：将４个小方格依次编号为：１， ２，３，４，第１个小方格可以从５种颜色中任取一种涂上， 有Ｃ１５种不同的涂法，由于相邻两格颜色不可相同，因 此，第２个，第３个小方格各有Ｃ１４种不同的涂法，第４个 小方格的颜色与第２个，第３个小方格不可同色，因此， 只有Ｃ１３种不同的涂法，根据乘法原理可知，共有Ｃ １ ５·Ｃ １ ４ ·Ｃ１４·Ｃ １ ３ ＝２４０种不同的涂法． 剖析：上述分析方法主要错在当第２，３小格颜色相 同时第４个小方格有４种不同的涂法，而不是３种． 正解：如上所述，可将４个小方格依次编号为１，２， ３，４，第１个小方格可以从５种颜色中任取一种颜色涂 上，有Ｃ１５种不同的涂法； 当第２与第３个小方格涂不同颜色时，有Ａ２４种不同 的涂法，第 ４个小方格有 Ｃ１３种不同的涂法．因此有 Ｃ１５·Ａ ２ ４·Ｃ １ ３ ＝１８０种不同的涂法； 当第２个第３个小方格涂相同颜色时，有Ｃ１４种涂法， 由于相邻两格同色，第４个小方格也有 Ｃ１４种不同的涂 法，因此有Ｃ１５·Ｃ １ ４·Ｃ １ ４ ＝８０种不同的涂法． 所以共有１８０＋８０＝２６０种不同的涂法． 三、分配问题 例３把５本不同的书全部分给４个学生，每个学生 至少得１本，共有多少种不同的分法？ 错解：先从５本书中选４本分给４个人，有Ａ４５种分 法，剩下的１本书可以分给任意一个人，有４种分法，共 有４Ａ４５ ＝４８０种不同的分法． （下转第２版） 书 排列与组合的题型非常多，我们不可能在此一一例 举．但是，常见及常考的题型我们可以加以归类分析，并 且要求同学们熟练掌握．下面我们把排列与组合的五类 常见题型加以归类整理，供同学们参考． 题型一：考查特殊元素或特殊位置优先考虑的问题 例１从１，３，５，７中任取２个数字，从０，２，４，６，８中任 取２个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被５整 除的四位数共有 个． 解析：符合条件的四位数的个位必须是０或５，但０ 不能排在首位，故０是其中的特殊元素，应优先安排，按 照０排在个位，０排在十、百位和不含０为标准分为３类： 第１类，０排在个位能被 ５整除的四位数有 （Ｃ１４Ｃ ２ ４）Ａ ３ ３ ＝１４４个； 第２类，０排在十、百位，但５必须排在个位的四位数 有Ａ１２（Ｃ １ ４Ｃ １ ３）Ａ ２ ２ ＝４８个； 第３类，不含 ０，但 ５必须排在个位的四位数有 （Ｃ１３Ｃ ２ ４）Ａ ３ ３ ＝１０８个． 由分类加法计数原理，得所求四位数共有１４４＋４８ ＋１０８＝３００个． 评注：若排列中有特殊元素或特殊位置时，一般可 先处理特殊元