第3期 圆的标准方程，圆的一般方程-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）２０２４年７月 第１～４期参考答案 第１期２版 专项小练一 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．ＢＤ．　４．１２； ５．（１）槡３３或 － 槡３ ３，（２） ６π ７． ６．解：当２ｍ＝ｍ，即ｍ＝０时，直线ｌ垂直于ｘ轴，其斜率不存在； 当２ｍ≠ｍ，即ｍ≠０时，直线ｌ的斜率ｋ＝ ２－１ｍ－２ｍ＝－ １ ｍ． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｃ；　３．ＢＤ．　４．２ｘ－ｙ＋２＝０； ５．ｙ＝ ２ｘ， １ ３ｘ＋ ５０ ３ { ，０≤ｘ＜１０，１０≤ｘ≤４０． ６．解：经过点（１，２），且斜率为３ 的直线，即ｙ－２＝３（ｘ－１）， 化简得：ｙ＝３ｘ－１； 经过点（１，２），且斜率为 －３的直 线，即ｙ－２＝－３（ｘ－１）， 化简得：ｙ＝－３ｘ＋５． 图象如右图所示． 专项小练三 １．Ａ；　２．Ａ；　３．ＡＣ．　４．ｘ－４ｙ＋７＝０；　５．－３． ６．解：设ＡＣ边的中点为Ｄ，由中点坐标公式可求得Ｄ点的坐 标为（４，４），则直线ＢＤ即为所求． 由直线方程的两点式得 ｙ－０ ４－０＝ ｘ＋４ ４＋４， 即所求直线方程为ｘ－２ｙ＋４＝０． 第１期３，４版 直线的倾斜角、斜率，直线的方程同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＡＤＡＢ　５～８　ＡＤＤＤ 提示： ２．已知ｋｂ≠０，ｌ２：ｙ＝－ ｂ ｋｘ＋ｂ，由四个选项中的ｌ１可知ｋ＞ ０，可排除（Ａ），（Ｃ）；当ｂ＜０时，可排除（Ｂ）；当ｂ＞０时，（Ｄ）符 合题意． ３．由题意可知直线ｌ的斜率ｋ＝ｔａｎπ４ ＝１， 所以直线ｌ的方程为ｙ－３＝ｘ－１，即ｙ＝ｘ＋２， 所以它在ｙ轴上的截距为２． ４．因为直线ｌ的倾斜角为１５０°，所以ｔａｎ１５０°＝－槡３３， 由斜率的定义ｋ＝ ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ 可知，取ｘ１ ＝ｙ１ ＝０， 解得一组解可以是ｘ２ ＝－３，ｙ２ ＝槡３， 所以直线的一个方向向量可以是（－３，槡３）． ５．由直线ｌ的方程为：２ｘ＋３ｙ－１＝０， 得斜率ｋ＝ｔａｎθ＝－２３， 则ｓｉｎ（θ－π）· (ｓｉｎ π２ － )θ ＝－ｓｉｎθ·ｃｏｓθ＝－ｓｉｎθ·ｃｏｓθ１ ＝－ｓｉｎθ·ｃｏｓθ ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ ＝ －ｔａｎθ ｔａｎ２θ＋１ ＝ ( ２ ３ － )２３ ２ ＋１ ＝ ６１３． ６．由 (ｆ π４ ) (－ｘ ＝ｆ π４ )＋ｘ 知函数ｆ（ｘ）的图象关于 直线ｘ＝π４对称，所以ｆ（０） (＝ｆ π )２ ，所以ａ＝－ｂ．由直线ａｘ －ｂｙ＋ｃ＝０知其斜率ｋ＝ ａｂ ＝－１，所以直线的倾斜角为 ３π ４． ７．因为点（－１，２） (和 槡３３， )０ 在直线ｌ：ａｘ－ｙ＋１＝０（ａ≠ ０）的同侧，所以（－ａ－２＋１ (）· 槡３３ａ－０＋ )１ ＞０，即（ａ＋１）（ａ ＋槡３）＜０，所以－槡３＜ａ＜－１．又知直线ｌ的斜率ｋ＝ａ，即－槡３ ＜ｋ＜－１，又因为直线倾斜角范围是［０，π），所以直线ｌ的倾斜角 (的取值范围为 ２π３，３π)４ ． ８．ｍ（ｘ＋１）＋ｎ（ｙ＋２）＝０可化为ｍｘ＋ｎｙ＋ｍ＋２ｎ＝０， ① 要使ｌ与两坐标轴能围成三角形，则ｍｎ≠０且ｍ＋２ｎ≠０， 由①令ｘ＝０得ｙ＝－ｍ＋２ｎｎ ；令ｙ＝０得ｘ＝－ ｍ＋２ｎ ｍ ． 依题意， １ ２ (× －ｍ＋２ｎ)ｎ (× －ｍ＋２ｎ)ｍ ＝ １２ × ｍ２＋４ｍｎ＋４ｎ２ ｍｎ ＝ １ ２ × ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＋４ ＝６， 所以 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＋４＝１２或 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＋４＝－１２， 所以 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＝８或 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＝－１６． 设ｔ＝ ｍｎ，则ｔ＋ ４ ｔ ＝８或ｔ＋ ４ ｔ ＝－１６， 则ｔ２－８ｔ＋４＝０或ｔ２＋１６ｔ＋４＝０， 解得ｔ＝４± 槡２３或ｔ＝－８± 槡２ １５， 即 ｍ ｎ ＝４± 槡２３或 ｍ ｎ ＝－８± 槡２ １５， 所以这样的直线有４条． 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．由ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０可知直线斜率ｋ＝－ａｂ ＞０， 直线在ｙ轴上的截距ｙ＝－ ｃｂ ＜０，满足条件的只有（Ｂ）， 所以不可能是（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．对于（Ａ）项，当ｘ＝２，ｙ＝６时，代入直线方程后得６≠２ －８，所以点（２，６）不在直线ｌ上，故（Ａ）项错误； 对于（Ｂ）项，易得直线ｌ的斜率为ｋ＝１，所以ｕ＝（１，１）为 直线ｌ的一个方向向量，故（Ｂ）项正确； 对于（Ｃ）项，令ｘ＝０得ｙ＝－８，所以直线ｌ在ｙ轴上的截距 为 －８，故（Ｃ）项错误； 对于（Ｄ）项，易得向量ｖ＝（１，－１）与直线ｌ的方向向量垂 直，故（Ｄ）项正确．故选（Ｂ）（Ｄ）． １１．对于（Ａ），整理ｍｘ＋ｙ＋１－３ｍ＝０，得ｍ（ｘ－３）＋ｙ＋ １＝０，令 ｘ－３＝０， ｙ＋１＝０{ ，解得 ｘ＝３， ｙ＝－１{ ，所以直线ｌ恒过点（３，－１）， （Ａ）正确； 对于（Ｂ），可知所求直线的斜率存在且不为０，设为ｋ， 则它的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ－１）． 令ｘ＝０，得ｙ＝１－ｋ，即该直线在ｙ轴上的截距为１－ｋ； 令 ｙ＝０，得ｘ＝１－１ｋ，即该直线在ｘ轴上的截距为１－ １ ｋ． 因为该直线在ｘ，ｙ轴上的截距相 等，所以１－ｋ＝１－１ｋ，解得ｋ＝±１， 所以所求直线的方程为ｘ－ｙ＝ ０或ｘ＋ｙ－２＝０，（Ｂ）错误； 对于（Ｃ），点Ｂ关于 ｘ轴的对称 点为Ｂ′（－１，－１），连接ＡＢ′交ｘ轴于 点Ｐ０，点Ｐ是 ｘ轴上任意一点，连接 ＢＰ０，ＡＰ，ＢＰ，ＰＢ′，如图１． 于是｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜＝｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ′｜≥｜ＡＢ′｜＝｜ＡＰ０｜＋ ｜Ｂ′Ｐ０｜＝｜ＡＰ０｜＋｜ＢＰ０｜， 当且仅当点Ｐ与Ｐ０重合时，等号成立， 因此（｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜）ｍｉｎ＝｜ＡＢ′｜＝ ３２＋４槡 ２ ＝５，（Ｃ）正确； 对于（Ｄ），直线ｌ与ｘ，ｙ轴的正半轴分别交于Ａ，Ｂ两点，可知 直线ｌ的斜率为负数，设直线ｌ：ｙ－２＝ｋ（ｘ－３），ｋ＜０， 令ｘ＝０，得ｙ＝２－３ｋ，令ｙ＝０，得ｘ＝３－２ｋ，可知２－３ｋ ＞０，３－２ｋ ＞０， 所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ ×（２－３ｋ (） ３－２ )ｋ ＝ [１２ （－９ｋ）＋ ４ －ｋ＋ ]１２ ≥ １２（ 槡２ ３６＋１２）＝１２， 当且仅当 －９ｋ＝ ４－ｋ，即ｋ＝－ ２ ３时，等号成立， 所以△ＡＯＢ面积的最小值为１２，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．４；　１３．５；　１４．９１４． 提示： １２．设直线ＡＢ的倾斜角为α， 则直线ＡＢ的斜率ｋ＝ｔａｎα＝ｔａｎ４５°＝１， 又ｋ＝３ｍ－６２＋ｍ ＝１，解得ｍ＝４． １３．因为ｆ（２）＝ａ０＋１＝２，所以Ａ（２，２）； 由ｋｘ－ｙ＋２ｋ－１＝０得ｙ＋１＝ｋ（ｘ＋２），所以直线恒过定 点Ｂ（－２，－１），所以｜ＡＢ｜＝ （－２－２）２＋（－１－２）槡 ２ ＝５． １４．以Ｃ为原点，ＤＣ，ＢＣ边分别为ｘ轴，ｙ轴建立平面直角坐 标系，如图２，则Ｎ（－１２０，－８０），Ｍ（－６０，－２００）， Ｎ关 于 ｘ轴 的 对 称 点 为 Ｎ′（－１２０，８０），Ｎ′关于 ｙ轴的对称 点为Ｎ″（１２０，８０）， 直线ＭＮ″方向为本球射出方向， 故 (ｔａｎ π２ － )θ ＝８０＋２００１２０＋６０ ＝１４９，ｔａｎθ＝ ９ １４． 四、解答题 １５．解：（１）依题意，（－１，槡３）是直线ｌ的一个方向向量， 所以直线ｌ的斜率ｋ＝－槡３， 所以直线ｌ的倾斜角为１２０°． （２）直线的倾斜角是钝角，则直线斜率ｋＡＢ＝ ｍ－３ １－ｍ＋１＜０， 解得ｍ＜２或ｍ＞３． 所以实数ｍ的范围是（－∞，２）∪（３，＋∞）． １６．解：（１）由题图知点Ａ（６０，６），Ｂ（８０，１０）． 由直线方程的两点式可求得直线ＡＢ的方程是ｘ－５ｙ－３０＝０． （２）依题意，令ｙ＝０，解得ｘ＝３０，即旅客最多可免费携带 ３０千克的行李． １７．解：（１）由直线的两点式方程，得边 ＡＣ所在直线的方程 为 ｙ－４ ０－４＝ ｘ－０ －８－０，即ｘ－２ｙ＋８＝０． 由直线的两点式方程，得边 ＡＢ所在直线的方程为ｙ－４６－４＝ ｘ－０ －２－０，即ｘ＋ｙ－４＝０． （２）由题意，得点Ｄ的坐标为（－４，２）， 由直线的两点式方程，得中线ＢＤ所在直线的方程为ｙ－２６－２＝ ｘ－（－４） －２－（－４），即２ｘ－ｙ＋１０＝０． １８．解：（１）选择①：由题意可设直线ｌ２的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ＋４）， 因为直线ｌ２的斜率是直线ｙ＝－ １ ４ｘ的斜率的２倍， 所以ｋ＝－１２， 所以直线ｌ２的方程为ｙ－１＝－ １ ２（ｘ＋４），即ｘ＋２ｙ＋２＝０． 选择②：由题意可设直线ｌ２的方程为 ｘ ２ｍ＋ ｙ ｍ ＝１，ｍ≠０， 因为直线ｌ２过点Ａ（－４，１），所以 －４ ２ｍ＋ １ ｍ ＝１，解得ｍ＝－１． 所以直线ｌ２的方程为 ｘ －２＋ ｙ －１＝１，即ｘ＋２ｙ＋２＝０． （２）由（１）可知直线ｌ２的方程为ｘ＋２ｙ＋２＝０， 令ｙ＝０，可得ｘ＝－２，所以直线ｌ２在ｘ轴上的截距为 －２， 所以直线ｌ１在ｘ轴上的截距为 －２． 故直线ｌ１过点（－２，０），代入ａｘ＋２ｙ－１２＝０，得 －２ａ＋２× ０－１２＝０，解得ａ＝－６． １９．（１）证明：由ｋｘ－ｙ＋２＋３ｋ＝０可得：ｋ（ｘ＋３）＋２－ｙ＝０， 由 ｘ＋３＝０， ２－ｙ＝０{ ，可得 ｘ＝－３， ｙ＝２{ ，所以ｌ经过定点Ｐ（－３，２）， 即直线ｌ过定点（－３，２），且定点在第二象限， 所以无论ｋ取何值，直线ｌ始终经过第二象限． （２）解：设直线ｌ的倾斜角为α，则０＜α＜ π２， 可得｜ＰＡ｜＝ ２ｓｉｎα ，｜ＰＢ｜＝ ３ｃｏｓα ， 书 １７．解：（１）设圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，则由已知 得 １２＋０２＋Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ４２＋０２＋４Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ６２＋（－２）２＋６Ｄ－２Ｅ＋Ｆ＝０ { ， 解得 Ｄ＝－５， Ｅ＝７， Ｆ＝４ { ． 故圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２－５ｘ＋７ｙ＋４＝０． （２）由圆的对称性可知，圆心Ｐ的横坐标为１＋４２ ＝ ５ ２， 故圆心 (Ｐ ５２， )２ ，故圆Ｐ的半径为ｒ＝｜ＡＰ｜ (＝ １－ )５２ ２ ＋（０－２）槡 ２ ＝ ５２， 故圆Ｐ (的标准方程为 ｘ－ )５２ ２ ＋（ｙ－２）２ ＝２５４． １８．解：（１）设圆的标准方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２， 得到圆心坐标为（ａ，ｂ），半径为ｒ， 将Ａ与Ｂ的坐标代入圆方程得： （－１－ａ）２＋（１－ｂ）２ ＝ｒ２， （－２－ａ）２＋（－２－ｂ）２ ＝ｒ２， 消去ｒ，整理得ａ＋３ｂ＋３＝０， ① 将圆心坐标代入ｘ＋ｙ－１＝０得ａ＋ｂ－１＝０， ② 联立①②解得ａ＝３，ｂ＝－２， ｒ２ ＝（－１－３）２＋（１＋２）２ ＝２５， 则圆Ｃ的标准方程为（ｘ－３）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． （２）设Ｎ（ｘ１，ｙ１），Ｇ（ｘ，ｙ）， 因为线段ＭＮ的中点是Ｇ， 所以由中点公式得 ｘ１＋３ ２ ＝ｘ， ｙ１＋４ ２ { ＝ｙ ｘ１ ＝２ｘ－３，ｙ１ ＝２ｙ－４{ ． 因为Ｎ在圆Ｃ上，所以（２ｘ－６）２＋（２ｙ－２）２ ＝２５， 即（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４， 所以点Ｇ的轨迹方程是（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４． １９．解：（１）设Ｐ（ｘ，ｙ），则｜ＰＡ｜２＝（ｘ＋１）２＋ｙ２，｜ＰＢ｜２ ＝（ｘ－３）２＋ｙ２， 所以 ｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝ （ｘ＋１）２＋ｙ槡 ２ （ｘ－３）２＋ｙ槡 ２ ＝ １３， 则９（ｘ＋１）２＋９ｙ２ ＝（ｘ－３）２＋ｙ２， 整理得曲线Ｃ的方程为ｘ２＋３ｘ＋ｙ２ ＝０． （２）由（１）得曲线Ｃ为圆，即Ｃ (： ｘ＋ )３２ ２ ＋ｙ２ ＝ ９４． 设其关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的圆的圆心为（ｘ，ｙ）， 则 ｘ－３２ ２ ＋ ｙ ２ －２＝０， ｙ ｘ＋３２ ＝１{ ， 解得 ｘ＝２，ｙ＝ ７２{ ． 所以曲线Ｃ关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的曲线方程为（ｘ－ ２）２ (＋ ｙ－ )７２ ２ ＝ ９４． （３） (由点 ５２， )３ 到圆心Ｃ的距离为 (ｄ＝ ５２ ＋ )３２ ２ ＋（３－０）槡 ２ ＝５． 因为圆Ｃ的半径ｒ＝ ３２， (所以点 ５２， )３ 到圆Ｃ的最短距离为ｄ－ｒ＝５－３２ ＝ ７２ ＞３，故在圆Ｃ上不存在点Ｄ，使得Ｄ (到点 ５２， )３ 的距离为３． 第４期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｂ．　４．ｘ－ｙ－２＝０；　５．２． ６．解：已知圆的圆心为（０，０），半径为槡２， 圆心到直线的距离ｄ＝｜ｂ｜ 槡２ ． 当ｄ＜槡２，即 －２＜ｂ＜２时，直线与圆相交； 当ｄ＝槡２，即ｂ＝±２时，直线与圆相切； 当ｄ＞槡２，即ｂ＜－２或ｂ＞２时，直线与圆相离． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ａ．　４．４ｘ＋３ｙ－２＝０；　５．外切． ６．解：设所求圆的圆心为Ｐ（ａ，ｂ）， 所以 （ａ－４）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝１． ① （１）若两圆外切，则有 （ａ－２）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝１＋２＝３． ② 由①②，解得ａ＝５，ｂ＝－１， 所以所求圆的方程为（ｘ－５）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． （２）若两圆内切，则有 （ａ－２）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝２－１＝１． ③ 由①③，解得ａ＝３，ｂ＝－１， 所以所求圆的方程为（ｘ－３）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． 综上，可知所求圆的方程为（ｘ－５）２＋（ｙ＋１）２＝１或（ｘ－ ３）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． 第４期３，４版 直线与圆、圆与圆的位置关系同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＣＤＤＡ　５～８　ＣＢＡＤ 提示： ２．两圆的圆心分别为：Ａ（３，－２），Ｂ（７，１）， 半径分别为：ｒ＝２，Ｒ＝６， 两圆心距为：｜ＡＢ｜＝ （７－３）２＋（１＋２）槡 ２ ＝５， 而Ｒ－ｒ＜｜ＡＢ｜＜Ｒ＋ｒ，所以两圆相交． ３．由题意可得圆心Ｃ（１，－４）到直线ｌ的距离ｄ≤５， 即 ｜３－４×（－４）＋ｍ｜ ５ ≤５，解得ｍ∈［－４４，６］． ４．因为圆Ｏ上恰有三个点到直线ｌ的距离等于１， 所以圆心Ｏ（０，０）到直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ的距离ｄ＝１， 所以 ｜ｄ｜ 槡２ ＝１，解得：ｂ＝槡２或ｂ＝－槡２． ５．设这１００个圆的半径从小到大依次为ｒ１，ｒ２，…，ｒ１００， 则由题知，ｒ２１ ＝１． 因为每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为 ２，即ｒ２２－ｒ２１ ＝１，ｒ２３－ｒ２２ ＝１，…，ｒ２９９－ｒ２９８ ＝１，ｒ２１００－ｒ２１００ ＝１， 即 ｒ２２ ＝１＋ｒ２１＝２，ｒ２３＝１＋ｒ２２＝３，…，ｒ２１００＝１＋ｒ２９９＝１００， 所以ｒ１００ ＝１０． ６．如图１，拱形桥ＡＣＢ， 以ＡＢ所在的直线为ｘ轴，以线段 ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直 角坐标系，则 Ａ（－１０，０），Ｂ（１０，０）， Ｃ（０，５），圆心在ｙ轴上，设为Ｅ（０，ｂ）， 则有 ｜ＡＥ ｜＝｜ＣＥ ｜， 即 １００＋ｂ槡 ２ ＝｜５－ｂ｜， 整理可得２ｂ＋１５＝０，解得ｂ＝－１５２， 所以圆心为 (Ｅ ０，－１５)２ ，半径为｜ＣＥ｜＝｜５－ｂ｜＝２５２， 所以圆的方程为ｘ２ (＋ ｙ＋１５)２ ２ ＝６２５４． 设Ｄ（ａ，３），则有ａ２ (＋ ３＋１５)２ ２ ＝６２５４，解得ａ＝槡４６． 所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为 槡２ ４６． 因为６５＜槡４６＜７，所以１３＜ 槡２ ４６＜１４， 所以船宽最长约为１３米． ７．当射线 ＯＰ绕 Ｏ点从 ｘ轴正半轴逆时针匀速旋转到射线 ＯＣ时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图２显示，变化 量ΔＳ也在变大； 当射线ＯＰ绕Ｏ点从射线ＯＣ逆时针匀速旋转到ｙ轴正半轴 时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图３显示，变化量 ΔＳ在变小，综合选项可得，选项（Ａ）符合． ８．设Ｇ为△Ａ１Ａ２Ａ３的重心， 则Ａ１Ｂ → ｉ＋Ａ２Ｂ → ｉ＋Ａ３Ｂ → ｉ＝Ａ１ → Ｇ＋ＧＢ→ ｉ＋Ａ２→ Ｇ＋ＧＢ→ ｉ＋Ａ３→ Ｇ＋ＧＢ→ ｉ ＝３ＧＢ→ ｉ， 因为｜Ａ１Ｂ → ｉ＋Ａ２Ｂ → ｉ＋Ａ３Ｂ → ｉ｜＝ｉ，所以｜ＧＢ → ｉ｜＝ ｉ ３ ＝ｒｉ，即 Ｂｉ在以点Ｇ为圆心，ｒｉ＝ ｉ ３为半径的圆上面． 设点Ｇ与坐标原点重合， 则｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜≥ｒ４ －ｒ１ ＝ ４ ３ － １ ３ ＝１，当且仅当Ｂ１，Ｂ２， Ｂ３都在线段ＯＢ４上时，等号成立， 又｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜≤ｒ１ ＋ｒ２＋ｒ２＋ｒ３＋ｒ３＋ｒ４ ＝ １ ３ ＋ ２ ３ ×２ ＋１×２＋４３ ＝５，当且仅当Ｂ１，Ｏ，Ｂ２在线段Ｂ３Ｂ４上面，且Ｂ１在 线段ＯＢ３上，Ｂ２在线段ＯＢ４上时，等号成立． 综上所述，｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜的取值范围为［１，５］． 二、多项选择题 ９．ＡＢＤ；　１０．ＡＢ；　１１．ＢＣＤ． 提示： ９．对于（Ａ），因为两个圆相交，所以有两条公切线，正确； 对于（Ｂ），将两圆方程作差可得 －２ｘ＋２ｙ－２＝０，即得公共 弦ＡＢ的方程为ｘ－ｙ＋１＝０，正确； 对于（Ｃ），直线ＡＢ经过圆Ｏ２的圆心（０，１），所以线段 ＡＢ是 圆Ｏ２的直径，故圆Ｏ２中不存在比ＡＢ长的弦，错误； 对于（Ｄ），圆Ｏ１的圆心坐标为（１，０），半径为２，圆心到直线 ＡＢ：ｘ－ｙ＋１＝０的距离为｜１＋１｜ 槡２ ＝槡２，所以圆Ｏ１上的点到直 线ＡＢ的最大距离为２＋槡２，正确． １０．对于（Ａ），将直线ｌ的方程变形为ｘ＋２－ｍ（ｙ＋１）＝０， 由 ｘ＋２＝０， ｙ＋１＝{ ０可得 ｘ＝－２， ｙ＝－１{ ， 所以直线ｌ过定点（－２，－１），（Ａ）正确； 对于（Ｂ），Ｃ被ｌ截得的弦长最长时，直线ｌ过圆心Ｃ（５，１）， 则７－２ｍ＝０，解得ｍ＝ ７２，（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），圆Ｃ的圆心为Ｃ（５，１），半径为ｒ＝２， 当直线ｌ与Ｃ相切时，则｜７－２ｍ｜ １＋ｍ槡 ２ ＝２， 解得ｍ＝４５２８，（Ｃ）错； 对于（Ｄ），由（Ｃ）可知，直线 ｌ与 Ｃ相切时只有一种情况， （Ｄ）错． １１．设圆心为Ｃ，则Ｃ（－２，－５）， 圆的半径为５，所以圆与ｘ轴相切． 设切点为 Ｐ，则 Ｐ（－２，０），连接 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，ＭＣ，则｜ＰＭ｜＝６， 因为∠ＭＰＡ＝∠ＭＢＰ，∠ＰＭＡ＝ ∠ＢＭＰ，所以△ＭＰＡ∽△ＭＢＰ， 所以｜ＰＭ｜２＝｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜＝３６． 设ＡＢ的中点为Ｎ，连接ＣＮ， 则ＣＮ⊥ＡＢ， 设圆心Ｃ到直线ＡＢ的距离ｄ，则０≤ｄ＜５， ｜ ＭＣ ｜＝ （４＋２）２＋５槡 ２ ＝ 槡６１， ｜ ＭＮ ｜＝ ｜ＭＣ｜２－ｄ槡 ２ ＝ ６１－ｄ槡 ２， ｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜＝２｜ＭＡ｜＋｜ＡＢ｜＝２｜ＭＡ｜＋２｜ＡＮ｜＝ ２｜ＭＮ｜＝２ ６１－ｄ槡 ２， 因为 ２ ｜ＭＱ｜＝ １ ｜ＭＡ｜＋ １ ｜ＭＢ｜＝ ｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜ ｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜＝ ｜ＭＮ｜ １８ ， 所以｜ＭＱ｜＝ ３６｜ＭＮ｜＝ ３６ ６１－ｄ槡 ２ ， 因为０≤ｄ＜５，所以 槡３６ ６１ 槡６１ ≤｜ＭＱ｜＜６．故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．６０°／π３；　１３．２；　１４．－槡２． 提示： １２．如图６，圆心（０，０）到直线槡３ｘ＋ ｙ－ 槡２ ３ ＝ ０的 距 离：｜ＯＤ｜＝ ｜槡２３｜ （槡３）２＋槡 １ ＝槡３，所以弦长： ｜ＡＢ｜＝２ ２２－（槡３）槡 ２ ＝２， 所以△ＯＡＢ为等边三角形，所以 ∠ＡＯＢ＝６０°． １３．圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０的圆心为（０，１），半径为１，因为四 边形 ＰＡＣＢ的面积 Ｓ＝ＰＡ·ＡＣ ＝ ＰＣ２－ＡＣ槡 ２·ＡＣ ＝ ＰＣ２－槡 １，而Ｓ最小值为２，所以ＰＣ的最小值为槡５，即圆心（０， １）到直线ｌ的距离｜０＋１＋４｜ ｋ２＋槡 １ ＝槡５，解得ｋ＝２． １４．圆Ｃ１：ｘ２＋ｙ２＋２ａｘ＋ａ２－４＝０的圆心Ｃ１（－ａ，０），半 径ｒ１ ＝２， 圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２－２ｂｙ－１＋ｂ２＝０的圆心Ｃ２（０，ｂ），半径ｒ２＝１， 由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距｜Ｃ１Ｃ２｜ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝２－１＝１，可得ａ２＋ｂ２ ＝１． 设ａ＝ｃｏｓα，ｂ＝ｓｉｎα，ａ∈Ｒ， 所以ａ＋ｂ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ∈［－槡２，槡２］， 当且仅当α＋π４ ＝－ π ２ ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ时， 即α＝－３４π＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ时，ａ＋ｂ的最小值为 －槡２． 四、解答题 由于版面有限，解答题答案见报纸． ! ! " !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$ 4 ! 5"6$3&'(7*+,-.8012!3+ "#$ 4 !"#$ !"#$ ! " # $ ! % & ! ! $! $" ' ( ' " ! #$! $" ) % & ' # ! " $" $ $ $ $ $ $ $ $ (*+#'(& (*#'$" ( ! " ' , ) , ) # ( ! !! ' ! ) # & " ( ! ! " ! ! ' " ( ) ' " ( ) ! # ' ( ) ! ' - ! $ " # % ' ) , ( ! & ' # & ! ) ( ! % 书 所以 １ ２｜ＰＡ｜＋ １ ３｜ＰＢ｜＝ １ ｓｉｎα ＋ １ｃｏｓα ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα ． 令ｔ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ， 因为０＜α＜ π２，可得 π ４ ＜α＋ π ４ ＜ ３π ４， 槡２ ２ ＜ (ｓｉｎ α＋ π )４ ≤１，则ｔ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ∈（１，槡２］． 将ｔ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα两边平方可得：ｔ２＝（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２ ＝ １＋２ｓｉｎα·ｃｏｓα，所以ｓｉｎαｃｏｓα＝ｔ ２－１ ２ ，所以 １ ２｜ＰＡ｜＋ １ ３｜ＰＢ｜ ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα ＝ ２ｔ ｔ２－１ ＝ ２ ｔ－１ｔ ， 因为ｙ＝ｔ－１ｔ在（１，槡２］上单调递增， 所以０＜ｔ－１ｔ≤ 槡２ ２， 故ｙ＝ １ ｔ－１ｔ ≥槡２，所以 ２ ｔ－１ｔ ≥ 槡２２，当且仅当ｔ＝槡２时 取等号，此时ｔ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ＝槡２， 可得α＝ π４，所以ｋ＝ｔａｎα＝ｔａｎ π ４ ＝１， 所以直线ｌ的方程为ｘ－ｙ＋５＝０． 第２期２版 专项小练一 １．ＡＢＤ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．４；　５．垂直． ６．解：因为ｋＡＣ ＝ ２＋ 槡２２－２ ２－４ ＝－槡２， ｋＢＣ ＝ ２－ 槡２２－２ ０－４ ＝ 槡２ ２， 则ｋＡＣ·ｋＢＣ ＝－槡２×槡 ２ ２ ＝－１， 所以ＡＣ⊥ＢＣ．故△ＡＢＣ是直角三角形． 专项小练二 １．ＡＤ；　２．Ｃ；　３．Ｃ．　４．（－４，３）；　５．－３． ６．解：（１）解方程组 ３ｘ－ｙ＋４＝０， ｘ＋３ｙ＋２＝０{ ，得 ｘ＝－７５， ｙ＝－１５ { ， 所以这两条直线相交， (交点坐标是 －７５，－ )１５ ． （２）ｌ２：９ｘ－１５ｙ＋３０＝０可化为方程３ｘ－５ｙ＋１０＝０， 所以 ３ｘ－５ｙ＋１０＝０， ９ｘ－１５ｙ＋３０＝{ ０有无数多个解， 故ｌ１：３ｘ－５ｙ＋１０＝０与ｌ２：９ｘ－１５ｙ＋３０＝０重合． 专项小练三 １．Ｂ；　２．ＢＣＤ；　３．Ａ．　４．２或 －４；　５． 槡１２５５ ． ６．解：（１）由点到直线的距离公式可得 ｄ＝｜３×３－４×（－２）－１｜ ３２＋（－４）槡 ２ ＝１６５． （２）由直线ｙ＝６与ｘ轴平行，得ｄ＝｜６－（－２）｜＝８． （３）ｄ＝｜３｜＝３． 第２期３版 §１．４～§１．６同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＢＣＡＤ　５～８　ＡＢＢＡ 提示： １．因为 ｘ＋ｙ－５＝０， ３ｘ＋ｙ－３＝{ ０的解为 ｘ＝－１， ｙ＝６{ ，所以集合Ａ∩Ｂ中 的元素是两直线的交点（－１，６），即Ａ∩Ｂ＝｛（－１，６）｝． ２．由 ２ｘ＋ｙ－４＝０， ｘ－ｙ－２＝０{ ， ｘ＝２， ｙ＝０{ ，即两直线交点坐标为（２，０）， 代入ｋｘ－ｙ＋３＝０得：２ｋ－０＋３＝０ｋ＝－３２． 故选：（Ｃ）． ３．直线ｌ１：ｙ＝３ａｘ－２过定点Ａ（０，－２），直线ｌ２：ａ（２ｘ＋５ｙ） －（ｘ＋１）＝０过定点 (Ｂ －１， )２５ ， 所以｜ＡＢ｜＝ （－１－０）２ [＋ ２５ －（－２ ]）槡 ２ ＝１３５． ４．设Ｍ（ｘ，ｙ），且Ｍ１ → Ｍ ＝ ３２ＭＭ → ２， 则（ｘ－６，ｙ－２）＝ ３２（１－ｘ，７－ｙ）， 得 ｘ－６＝ ３２（１－ｘ）， ｙ－２＝ ３２（７－ｙ { ），解得 ｘ＝３，ｙ＝５{ ， 代入直线ｙ＝ｍｘ－７，得５＝３ｍ－７，解得ｍ＝４． ５．△ＡＢＣ的顶点为 Ａ（０，０），Ｂ（４，０），Ｃ（３，槡３），所以重心 (Ｇ ７３，槡３)３ ．设△ＡＢＣ的外心为Ｗ（２，ａ），则｜ＡＷ｜＝｜ＷＣ｜，即 ２２＋ａ槡 ２ ＝ （３－２）２＋（槡３－ａ）槡 ２，解得 ａ＝０，所以 Ｗ（２， ０），则该三角形的欧拉线即直线ＧＷ，其方程为ｙ－０＝ 槡３ ３ －０ ７ ３ －２ （ｘ －２），化简得槡３ｘ－ｙ－ 槡２３＝０． ６．当ｘ≥０时，由 －ａ｜ｘ｜＝－ａ＋ｘ可得，－ａｘ＝－ａ＋ｘ， 当ａ≠－１时，解得ｘ＝ ａａ＋１； 当ｘ＜０时，由 －ａ｜ｘ｜＝－ａ＋ｘ可得，ａｘ＝－ａ＋ｘ， 解得ｘ＝－ ａａ－１， 所以 ａ ａ＋１≥０， － ａａ－１＜０ { ，其中ａ＜０，解得ａ＜－１． ７．因为直线ｙ＝ｋｘ＋２０２３的斜率存在，所以ｘ１≠ｘ２， 由题意 ｙ１ ＝ｋｘ１＋２０２３， ｙ２ ＝ｋｘ２＋２０２３ { ， 则ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１ ＝ｘ１（ｋｘ２ ＋２０２３）－ｘ２（ｋｘ１ ＋２０２３）＝ ２０２３（ｘ１－ｘ２）≠０， 故ｌ１：ｘ１ｘ＋ｙ１ｙ＝１与ｌ２：ｘ２ｘ＋ｙ２ｙ＝１相交， 所以方程组总有唯一解，（Ａ），（Ｄ）错误，（Ｂ）正确； 若 ｘ＝１， ｙ＝{ ２是方程组的一组解，则 ｘ１＋２ｙ１ ＝１， ｘ２＋２ｙ２ ＝１ { ， 则点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）在直线ｘ＋２ｙ＝１，即ｙ＝－ １ ２ｘ＋ １ ２上， 但已知这两个点在直线ｙ＝ｋｘ＋２０２３上，而这两条直线不是 同一条直线，所以 ｘ＝１， ｙ＝{ ２不可能是方程组的一组解，（Ｃ）错误． ８．由题意，联立两直线方程 ｙ＝ｘ＋２， ｙ＝ｋｘ－４{ ，化简得（ｋ－１）ｘ＝６， ｋ－１＝－６，即ｋ＝－５时，ｘ＝－１，ｙ＝１； ｋ－１＝－３，即ｋ＝－２时，ｘ＝－２，ｙ＝０； ｋ－１＝－２，即ｋ＝－１时，ｘ＝－３，ｙ＝－１； ｋ－１＝－１，即ｋ＝０时，ｘ＝－６，ｙ＝－４； ｋ－１＝１，即ｋ＝２时，ｘ＝６，ｙ＝８； ｋ－１＝２，即ｋ＝３时，ｘ＝３，ｙ＝５； ｋ－１＝３，即ｋ＝４时，ｘ＝２，ｙ＝４； ｋ－１＝６，即ｋ＝７时，ｘ＝１，ｙ＝３． 所以ｋ的值可以取８个，选项（Ａ）正确． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＢＣＤ． 提示： ９．联立方程 ｘ＋ｙ－３＝０， ｙ＝ｋｘ＋３ｋ－２{ ，解得 ｘ＝５－３ｋｋ＋１， ｙ＝６ｋ－２ｋ＋１ { ， 因为两直线的交点在第四象限， 所以 ５－３ｋ ｋ＋１ ＞０， ６ｋ－２ ｋ＋１ ＜０ { ，解得 －１＜ｋ＜ １３．故选（Ａ）（Ｃ）． １０．对于（Ａ）项，当ｋ＝０时，直线ｌ２的方程为ｘ＝０，此时直 线ｌ２的倾斜角为 π ２，故（Ａ）项正确； 对于（Ｂ）项，当ｋ＝－１２时，直线ｌ２的方程为ｘ－ｙ－１＝０， 与ｌ１重合，此时两直线有公共点； 当ｋ≠－１２时，有１×ｋ－（－１）×（ｋ＋１）＝２ｋ＋１≠０， 即ｌ１，ｌ２一定相交． 综上所述，对任意的实数ｋ，直线ｌ１与直线ｌ２都有公共点，故 （Ｂ）项正确； 对于（Ｃ）项，由（Ｂ）可知，当ｋ＝－１２时，直线ｌ２与ｌ１重合， 故（Ｃ）项错误； 对于（Ｄ）项，要使直线ｌ１与直线ｌ２垂直，则应有ｋ＋１－ｋ＝ ０，该方程无解，所以对任意的实数ｋ，直线ｌ１与直线ｌ２都不垂直， 故（Ｄ）项正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把 平面分成７部分； 如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立： （１）直线ａｘ＋２ｙ＋８＝０过另外两条直线的交点． 由４ｘ＋３ｙ＝１０和２ｘ－ｙ＝１０的交点是（４，－２）， 代入解得：ａ＝－１； （２）直线ａｘ＋２ｙ＋８＝０分别与另外两条直线平行． 当ａｘ＋２ｙ＋８＝０与４ｘ＋３ｙ＝１０平行时， 有 ａ ４ ＝ ２ ３≠ ８ －１０，解得ａ＝ ８ ３； 当ａｘ＋２ｙ＋８＝０与２ｘ－ｙ＝１０平行时， 有 ａ ２ ＝ ２ －１≠ ８ －１０，解得ａ＝－４．故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２． 槡７ １０２０ ；　１３．槡２５；　１４．１． 提示： １２．由两直线平行可得ｍ＝２． 直线３ｘ＋ｙ－３＝０变形为６ｘ＋２ｙ－６＝０， 所以距离为ｄ＝ ｜１＋６｜ ６２＋２槡 ２ ＝ 槡７ １０２０ ． １３．设Ｂ关于直线ｙ＝ １３ｘ的对称点为Ｂ′（ｘ０，ｙ０）， 则 ｙ０－２ ｘ０－１ ＝－３， ｙ０＋２ ２ ＝ １ ３ × ｘ０＋１ ２ { ，解得Ｂ′（２，－１）． 由平面几何知识得 ｜ＡＣ｜＋｜ＢＣ｜的最小值即是｜Ｂ′Ａ｜＝ （２＋２）２＋（－１－１）槡 ２ ＝ 槡２５． １４．直线ｌ１：ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０，即ｍ（ｘ＋１）－ｙ＝０，恒过定点 （－１，０），直线ｌ３：（ｍ＋１）ｘ－ｙ＋（ｍ＋１）＝０，即ｍ（ｘ＋１）＋ｘ －ｙ＋１＝０，也恒过定点（－１，０）， 所以直线ｌ１与ｌ３相交于定点Ａ（－１，０）． 由 ｘ＋ｍｙ－ｍ（ｍ＋１）＝０， （ｍ＋１）ｘ－ｙ＋（ｍ＋１）＝０{ ，解得 ｘ＝０， ｙ＝ｍ＋１{ ，可知 直线ｌ２与直线ｌ３相交于点Ｂ（０，ｍ＋１）． 由题可得直线ｌ１与直线ｌ２相互垂直，所以△ＡＢＣ是Ｃ为直角 的直角三角形． 因为点Ａ到 ｌ２：ｘ＋ｍｙ－ｍ（ｍ＋１）＝０的距离 ｜ＡＣ｜＝ ｜－１－ｍ（ｍ＋１）｜ １＋ｍ槡 ２ ＝ｍ ２＋ｍ＋１ １＋ｍ槡 ２ ，点Ｂ到ｌ１：ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０的 距离｜ＢＣ｜＝｜－ｍ－１＋ｍ｜ ｍ２＋槡 １ ＝ １ ｍ２＋槡 １ ， 所以△ＡＢＣ的面积Ｓ＝ １２｜ＡＣ｜｜ＢＣ｜＝ １ ２× ｍ２＋ｍ＋１ ｍ２＋１ ＝ (１２ １＋ ｍｍ２＋ )１ ， ｍ＜０时，△ＡＢＣ的面积不可能取到最大值； ｍ＝０时，Ｓ＝ １２； ｍ＞０时， ｍ ｍ２＋１ ≤ ｍ ２ ｍ槡 ２ ＝ １２，当且仅当ｍ＝１时，等号 成立，此时Ｓｍａｘ＝ (１２ １＋ )１２ ＝ ３４． 综上，当ｍ＝１时，△ＡＢＣ的面积Ｓ取得最大值 ３４． 四、解答题 １５．解：如图１，设Ｐ（０，３）点关于 直线ｘ－ｙ＋１＝０的对称点的坐标为 Ｐ′（ａ，ｂ）， 则 ａ ２ － ｂ＋３ ２ ＋１＝０， ｂ－３ ａ ＝－１ { ， 解得ａ＝２，ｂ＝１， 所以Ｐ′（２，１）． 设Ｑ（－２，３），Ｎ为直线ｘ－ｙ＋１＝０上的点， 则｜ＰＮ｜＝｜ＰＮ′｜．则 ｜ＱＮ｜＋｜ＰＮ｜＝｜ＱＮ｜＋｜Ｐ′Ｎ｜≥ ｜ＱＰ′｜，当且仅当Ｑ，Ｎ，Ｐ′三点共线时取等号． 而｜ＱＰ′｜＝ （－２－２）２＋（３－１）槡 ２ ＝ 槡２５， 所以最短总路程为 槡２５． １６．解：（１）由 ２ｘ－ｙ＋３＝０， ３ｘ－ｙ＋２＝０{ ，解得 ｘ＝１， ｙ＝５{ ， 即两直线的交点坐标为（１，５）． 则直线经过点（１，５）和（２，３）， 由两点式方程得， ｙ－３ ５－３＝ ｘ－２ １－２， 化简得所求直线方程为２ｘ＋ｙ－７＝０． （２）由３ｘ＋ｙ－１＝０可得直线的斜率为 －３， 故平行于直线３ｘ＋ｙ－１＝０的直线的斜率为 －３， 结合（１）问可知：两条直线ｙ＝２ｘ＋３与３ｘ－ｙ＋２＝０的交 点为（１，５）， 由点斜式方程得，ｙ－５＝－３（ｘ－１）， 书 化简得所求直线方程为３ｘ＋ｙ－８＝０． １７．解：因为Ａ，Ｂ两点纵坐标不相等， 所以ＡＢ与ｘ轴不平行，而ＡＢ⊥ＣＤ， 所以ＣＤ与ｘ轴不垂直，则 －ｔ≠３，即ｔ≠－３． ①当ＡＢ与ｘ轴垂直时，－ｔ－３＝－２ｔ－４， 解得ｔ＝－１，此时Ｃ，Ｄ的纵坐标均为 －１， 所以ＣＤ∥ｘ轴，此时ＡＢ⊥ＣＤ，满足题意． ②当ＡＢ与ｘ轴不垂直时，由斜率公式 ｋＡＢ ＝ ４－２ －２ｔ－４－（－ｔ－３）＝－ ２ ｔ＋１， ｋＣＤ ＝ ３ｔ＋２－ｔ ３－（－ｔ）＝ ２（ｔ＋１） ｔ＋３ ， 因为ＡＢ⊥ＣＤ，所以ｋＡＢ·ｋＣＤ ＝－１， 即 － ２ｔ＋１· ２（ｔ＋１） ｔ＋３ ＝－１，解得ｔ＝１， 综上，ｔ的值为１或 －１． １８．解：（１）设ＡＢ边的垂直平分线所在的直线为ｌ， 由题可知ｋＡＢ ＝ ５－３ ２－１＝２，则ｋｌ＝－ １ ２， 又可知ＡＢ (的中点坐标为 ３２， )４ ， 所以ｌ的方程为ｙ－４＝－ (１２ ｘ－ )３２ ， 即ｙ＝－１２ｘ＋ １９ ４． （２）设Ｂ关于直线ｘ－ｙ＋３＝０的对称点Ｍ的坐标为（ａ，ｂ）， 则 ｂ－３ ａ－１＝－１， １＋ａ ２ － ３＋ｂ ２ ＋３＝０ { ，解得 ａ＝０，ｂ＝４{ ，所以Ｍ（０，４）， 由题可知Ａ，Ｍ两点都在直线ＡＣ上， 所以直线ＡＣ的斜率为５－４２－０＝ １ ２， 所以直线ＡＣ的方程为ｙ－４＝ １２（ｘ－０）， 所以ＡＣ所在直线的方程为ｘ－２ｙ＋８＝０． １９．解：显然四边形ＡＢＣＤ为等腰梯形， 因为ａ＞０，根据等腰梯形的对称性可知：当ｂ＞１或ｂ≤０时 不符合题意，所以０＜ｂ≤１． 当ａ＝ １２，ｂ＝１时，设直线ＥＣ：ｙ＝ １ ２ｘ＋１与ｙ轴的交点 Ｆ（０，１），根据等腰梯形的对称性可知符合题意； 当ａ＞１２，ｂ＝１时，设直线ｙ ＝ａｘ＋１与梯形上、下底分别交于 Ｍ，Ｎ，如图２， 因为三角形 ＭＣＦ与三角形 ＮＥＦ全等， 所以直线ｙ＝ａｘ＋ (１ ａ＞ )１２ 将四边形ＡＢＣＤ分割为面积 相等的两部分； 当０＜ａ＜ １２时，设直线ｙ＝ｂ与ｙ轴交于Ｇ点，与梯形的 两腰交于Ｑ，Ｐ， 由题直线ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ＞０） 将四边形ＡＢＣＤ分割为面积相等 的两部分，则设该直线与梯形的 两腰交于Ｋ，Ｈ．如图３， 可知：直线ＡＤ：ｙ＝ｘ＋４，ＢＣ： ｙ＝４－ｘ， 联立 ｙ＝ｘ＋４， ｙ＝ａｘ＋ｂ{ ，解得 ｘ＝４－ｂａ－１， ｙ＝４ａ－ｂａ－１ { ，即 (Ｋ ４－ｂａ－１，４ａ－ｂａ－ )１ ， 同理可得：Ｑ（ｂ－４，ｂ）， (Ｈ ４－ｂａ＋１，４ａ＋ｂａ＋ )１ ，Ｐ（４－ｂ，ｂ）． 由题意可得：Ｓ梯形ＡＢＰＱ －Ｓ△ＧＱＫ＋Ｓ△ＨＧＰ ＝ １ ２Ｓ梯形ＡＢＣＤ， 即 （８＋８－２ｂ）ｂ ２ － １ ２（４－ｂ (） ｂ－４ａ－ｂａ－ )１ ＋ １２（４－ ｂ (） ４ａ＋ｂａ＋１ )－ｂ ＝６， 整理得ａ２ ＝ｂ ２－８ｂ＋６ －１０ (∈ ０， )１４ ，且０＜ｂ≤１， 解得４－槡１０＜ｂ≤１． 综上所述：ｂ的取值范围是（４－槡１０，１］． 第３期２版 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．（ｘ－２）２＋（ｙ＋１）２ ＝１；　５．４． ６．解：设圆（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝９的圆心为Ｃ， 则Ｃ（３，０），圆的半径为３． 因为Ｐ为弦ＭＮ的中点，所以ｋＣＰ·ｋＭＮ ＝－１． 又ｋＣＰ ＝ １－０ １－３＝－ １ ２，所以ｋＭＮ ＝２． 所以直线ＭＮ的方程为ｙ－１＝２（ｘ－１）， 即２ｘ－ｙ－１＝０． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ．　４．ｘ－ｙ＋１＝０；　５．（－∞，－１３）． ６．解：（１）因为ｘ２＋ｙ２ ＝０，所以ｘ＝０且ｙ＝０． 即方程表示一个点（０，０）． （２）原方程可化为（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２ ＝５． 即方程表示圆心为（１，１），半径为槡５的圆． （３）原方程可化为（ｘ＋ａ）２＋（ｙ＋ｂ）２ ＝ａ２＋ｂ２， 当ａ＝ｂ＝０时，方程表示一个点（０，０）， 当ａ２＋ｂ２≠ ０时，方程表示圆心为（－ａ，－ｂ），半径为 ａ２＋ｂ槡 ２的圆． 第３期３，４版 圆的标准方程与一般方程同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＢＡＤＣ　５～８　ＢＣＢＡ 提示： １．方程ｘ２＋ｙ２－６ｘ＝０可化为（ｘ－３）２＋ｙ２＝９，所以圆心 坐标为（３，０），半径为槡９＝３． ２．由题意知动点Ｐ的轨迹是以（１，３）为圆心，２为半径的圆， 结合图形可知该圆经过第一、二象限． ３．因为以Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）为直径的两端点的圆的方程 为（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０， 所以有（ｘ＋１）（ｘ－５）＋（ｙ－２）（ｙ＋６）＝０（ｘ２－４ｘ）＋ （ｙ２＋４ｙ）－１７＝０（ｘ－２）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． ４．由题意知Ｃ（６，－８），｜ＯＣ｜＝ ６２＋（－８）槡 ２ ＝１０．所以 以ＯＣ为直径的圆的半径为５，圆心为（３，－４），故所求圆的方程 为（ｘ－３）２＋（ｙ＋４）２ ＝２５． ５．把原圆的方程写成标准方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝１０， 由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝ｒ２， 把ｘ＝１，ｙ＝－１代入所设方程，得（１－２）２＋（－１＋３）２＝ｒ２， 所以ｒ２＝５，所以所求的圆的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝５，化 简为ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋６ｙ＋８＝０． ６．由题意知，满足条件的点Ｐ在平面内所组成的图形的面积 是以６为半径的圆的面积减去以２为半径的圆的面积，即３２π． ７．（３λ＋１）ｘ＋（２λ＋１）ｙ＝５λ＋２整理为（３ｘ＋２ｙ－５）λ＋ ｘ＋ｙ－２＝０， 令 ３ｘ＋２ｙ－５＝０， ｘ＋ｙ－２＝０{ ， 解得 ｘ＝１， ｙ＝１{ ， 所以定点Ｐ的坐标为Ｐ（１，１）， 代入圆的方程中（１＋２）２＋（１＋ １）２ ＞４，所以Ｐ（１，１）在圆外． 设圆Ｃ的半径为ｒ＝２，所以｜ＭＰ｜ 的最大值应该为｜ＰＣ｜＋ｒ（如图１）， 又｜ＰＣ｜＝ （－２－１）２＋（－１－１）槡 ２ ＝槡１３， 所以｜ＭＰ｜的最大值为槡１３＋２． ８．由题易得，Ｐ在两圆外，则｜ＰＭ｜的最小值为｜ＰＣ１｜－１， 同理｜ＰＮ｜的最小值为｜ＰＣ２｜－３，则｜ＰＭ｜＋｜ＰＮ｜的最小值 为｜ＰＣ１｜＋｜ＰＣ２｜－４．作 Ｃ１（２，３）关于 ｘ轴的对称点 Ｃ′１（２， －３）（图略），所以｜ＰＣ１｜＋｜ＰＣ２｜＝｜ＰＣ′１｜＋｜ＰＣ２｜≥｜Ｃ′１Ｃ２｜＝ 槡５２（当且仅当Ｃ′１，Ｐ，Ｃ２三点共线时，｜ＰＣ′１｜＋｜ＰＣ２｜取最小值）， 即（｜ＰＭ｜＋｜ＰＮ｜）ｍｉｎ＝（｜ＰＣ１｜＋｜ＰＣ２｜）ｍｉｎ－４＝ 槡５２－４． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 提示： ９．（Ａ）中，由ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋４ｙ－４＝０， 得（ｘ－１）２＋（ｙ＋２）２ ＝９， 所以圆Ｃ的半径为３，其面积为π·３２ ＝９π，正确； （Ｂ）中，将ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０化为标准方程为 ｘ２＋（ｙ－１）２ ＝１，故圆心为（０，１），错误； （Ｃ）中，圆心坐标为（－１，－１）， ｜ＡＢ｜＝ ４＋槡 １６＝ 槡２５，ｒ＝槡５， 所以以线段ＡＢ为直径的圆的方程为 （ｘ＋１）２＋（ｙ＋１）２ ＝５，正确； （Ｄ）中，由圆Ｃ：（ｘ－２）２＋（ｙ＋４）２ ＝５， 可得圆Ｃ的圆心坐标为（２，－４），半径为槡５， 则｜ＯＣ｜＝ ２２＋（－４）槡 ２ ＝ 槡２５， 所以｜ＰＯ｜的最小值为｜ＯＣ｜－槡５＝槡５，错误． １０．依题意，１２ＡＢ·ＡＢ·ｓｉｎ π ３ ＝ 槡３ ４ＡＢ ２ ＝ 槡１２３， 解得ＡＢ＝ 槡４３．设ＡＢ边的中点为Ｄ， 则点Ｍ在ＣＤ上，且ＤＢ＝ 槡４３２ ＝ 槡２３， 且ＤＭ＝２，点Ｎ在以Ｍ为圆心，１为半径的圆上， →ＮＡ·→  ＮＢ＝（→ →ＮＤ＋ＤＡ）·（→ →  ＮＤ＋ＤＢ） ＝（→ＮＤ）２－（→  ＤＢ）２ →＝｜ＮＤ｜２－１２． 结合图形２可知 →｜ＮＤ｜ｍｉｎ＝２－１＝ １， →｜ＮＤ｜ｍａｘ＝２＋１＝３， 故→ＮＡ·→  ＮＢ∈［－１１，－３］． １１．选项（Ａ）：设ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ， 因为ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）３＋（－ｘ）＝－ｘ３－ｘ＝－ｆ（ｘ）， 所以函数ｙ＝ｘ３＋ｘ是奇函数，它的图象将圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝１ 的周长与面积分别等分，如图３所示， 所以函数ｙ＝ｘ３＋ｘ是圆Ｏ的一个太极函数，故（Ａ）正确； 选项（Ｃ）：如图４所示：函数ｙ＝ｇ（ｘ）是偶函数，ｙ＝ｇ（ｘ）也 是圆Ｏ的一个太极函数，故（Ｃ）不正确； 选项（Ｂ）：根据选项（Ｃ）的分析，圆 Ｏ的太极函数可以是偶 函数不一定关于原点对称，故（Ｂ）不正确； 选项（Ｄ）：因为ｙ＝ｓｉｎｘ是 奇函数，所以它的图象将圆 ｘ２ ＋ｙ２ ＝１的周长与面积同时等 分，如图５所示，因此函数 ｙ＝ ｓｉｎｘ是圆 Ｏ的一个太极函数， 故（Ｄ）正确． 三、填空题 １２．（－２，１）；　１３．（－∞，１）； １４．（ｘ－４）２＋（ｙ－２）２＝１０（去掉（３，５），（５，－１）两点）． 提示； １２．由题意得ｍ２＋１＝３ｍ－１，解得ｍ＝１或２． 当ｍ＝１时，方程为ｘ２＋ｙ２＋４ｘ－２ｙ＋５２ ＝０，即（ｘ＋２） ２ ＋（ｙ－１）２ ＝ ５２，圆心为（－２，１）； 当ｍ＝２时，方程为５ｘ２＋５ｙ２＋８ｘ－４ｙ＋１０＝０， (即 ｘ＋ )４５ ２ (＋ ｙ－ )２５ ２ ＝－６５，不表示圆． 故圆心坐标是（－２，１）． １３．圆的方程变为（ｘ＋１）２＋（ｙ－２）２ ＝５－ａ， 所以其圆心为（－１，２），且５－ａ＞０，即ａ＜５． 又圆关于直线ｙ＝２ｘ＋ｂ成轴对称， 所以２＝－２＋ｂ，所以ｂ＝４． 所以ａ－ｂ＝ａ－４＜１．故答案为（－∞，１）． １４．设Ｃ（ｘ，ｙ），｜ＡＢ｜＝ （３－４）２＋（５－２）槡 ２ ＝槡１０， 因为△ＡＢＣ是以ＢＣ为底边的等腰三角形， 所以｜ＣＡ｜＝｜ＡＢ｜＝槡１０， 即点Ｃ的轨迹是以Ａ为圆心，槡１０为半径的圆． 又点Ａ，Ｂ，Ｃ构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点 Ｂ（３，５）及点 Ｂ关于点 Ａ对称的点（５， －１），所以点Ｃ的轨迹方程为（ｘ－４）２＋（ｙ－２）２＝１０（去掉（３， ５），（５，－１）两点）． 四、解答题 １５．解：设圆心坐标为（ａ，－２ａ＋３），则圆的半径 ｒ＝ （ａ－０）２＋（－２ａ＋３－０）槡 ２ ＝ ５ａ２－１２ａ＋槡 ９＝ (５ ａ－ )６５ ２ ＋槡 ９ ５．当ａ＝ ６ ５时，ｒｍｉｎ＝ 槡３５ ５． (故所求圆的方程为 ｘ－ )６５ ２ (＋ ｙ－ )３５ ２ ＝ ９５． １６．解：如图６，以ＡＢ所在直线为ｘ轴， 弦ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直角 坐标系．设圆弧的圆心为Ｃ，连接ＡＣ， 则ＡＯ＝ １２ｌ＝６， 所 以 ＯＣ ＝ ＡＣ２－ＯＡ槡 ２ ＝ ２９２－６槡 ２≈２８３７３， 即圆心的坐标为Ｃ（０，－２８３７３）， 所以圆弧 ) ＡＢ的方程为ｘ２＋（ｙ＋２８３７３）２＝２９２（－６≤ｘ≤ ６，ｙ≥０）． ! ! ! " !"#$ !"#$ !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$ 4 5"6$3&'(7*+,-.8012!3+ "#$ 4 !! " ! " #$" $! # # " ! $! $ $%&%!&' ! & ' ! ! $ ! # & ( ) ! ! $ * # + , ! - ( . " / &01 & ! # $ * # 2 ( . & ) 3 4 ! " 5 *.2 3 ) ( ! " $# &0$ # 6$ & ! # $# & &07!$" ! ( $ # &0)*+ $ & ! , ! - ( 8 * $ # 2 & 书 圆在实际生活和社会实践中有着广泛的应用．生 活中与圆有关的实际应用问题，往往是通过建立数学 模型，把实际应用问题转化为数学问题来处理的．下面 举几个例子加以说明． 一、寻找沉船位置 例１海上一艘船不幸突然失事，当时有三个幸存 者在海中向着不同的方向游去，假如他们三个人的游 泳速度是相同的，过了四十分钟后，直升机赶到失事现 场，发现了三个人的位置分别是 Ａ（０，－５），Ｂ（７，２）， Ｃ（７，－６），那么你知道该如何确定轮船沉没的大致位 置吗？ 分析：设轮船沉没的位置为 Ｏ，因为三人游泳的速 度是相同的，那么从点Ｏ分别向三个不同的方向游去， 则三个人必定距失事地点一样远，即｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝ ｜ＯＣ｜，因此，找出△ＡＢＣ外接圆的圆心Ｏ，即为轮船沉 没的大致位置． 解：因为ｋＡＢ ＝ ２－（－５） ７－０ ＝１，ｋＡＣ ＝ －６－（－５） ７－０ ＝ －１７，所以Ａ，Ｂ，Ｃ三点不在同一条直线上． 由题意知Ａ，Ｂ，Ｃ三点到轮船沉没的位置的距离是 相等的，故可设过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆的方程为 ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０． 因为Ａ，Ｂ，Ｃ三点都在圆上， 所以可得方程组如下： －５Ｅ＋Ｆ＋２５＝０， ７Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＋５３＝０， ７Ｄ－６Ｅ＋Ｆ＋８５＝０ { ． 解得 Ｄ＝－８， Ｅ＝４， Ｆ＝－５ { ． 所以过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆的方程为ｘ２＋ｙ２－８ｘ＋４ｙ －５＝０，即（ｘ－４）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． 从而轮船沉没的位置大致为（４，－２）． 二、安全过桥 例２船前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位 时，拱圈最高点距水面９米，拱圈内水面宽２２米．一只 船顶部宽４米，行驶时露在水面以上部分高６．５米，如 图１．但是近日水位上涨了２．７米，船已经不能通过桥洞 了，船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度， 船才能安全驶过桥洞．试问：船身必须降低多少才能通 过桥洞（精确到０．０１米）？ 分析：建立坐标系，将实际问题转化为圆的问题． 解：以正常水位时，水面与桥横截面的交线所在直 线为ｘ轴，以过最高点且与水面垂直的直线为 ｙ轴，建 立平面直角坐标系，如图２所示． 则Ａ，Ｂ，Ｄ三点的坐标分别为 Ａ（－１１，０），Ｂ（１１， ０），Ｄ（０，９）． 又圆心Ｃ在ｙ轴上，故可设Ｃ（０，ｂ）． 因为｜ＣＤ｜＝｜ＣＢ｜，所以９－ｂ＝ １１２＋ｂ槡 ２． 解得ｂ＝－２０９，所以｜ＣＤ｜＝９＋ ２０ ９ ＝ １０１ ９． 所以圆拱所在圆的方程为 ｘ２＋ ｙ＋２０( )９ ２ ＝ １０１( )９ ２ ． 当ｘ＝２时，求得ｙ≈８．８２０，即桥拱宽为４米的地 方距正常水位时的水面约８．８２０米，距涨水后的水面约 ６．１２０米． 因为船露出水面以上的部分高为６．５米， 所以船身必须降低６．５－６．１２０＝０．３８（米）以上， 船才能顺利通过桥洞． 例３已知某隧道截面是一 圆拱形，路面宽为４槡５米，高为 ４米．车辆只能在道路中心线 一侧行驶，一辆宽为２５米、高 为３５米的货车能否驶入这个隧道？请说明理由．（参考 数据：槡１４≈３７４） 解：该货车不能驶入这个隧道．理由如下： 建立如图３所示的平面直角坐标系． Ａ（－２槡５，０），Ｂ（０，４），设圆心Ｍ（０，ｍ）， 由｜ＭＡ｜＝｜ＭＢ｜，得ｍ＝－１２， 所以｜ＭＡ｜＝｜ＭＢ｜＝ ９２， 所以圆的方程为ｘ２ (＋ ｙ＋１ )２ ２ (＝ ９ )２ ２ ， 所以当ｘ＝２５时，ｙ＝槡１４－ １ ２≈３７４－０５＝ ３２４＜３５， 即宽为２５米、高为３５米的货车不能驶入这个隧道． 三、合理选择购货地点 例４有一种大型商品，Ｍ，Ｎ两地都有出售，且价格 相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用如 下：单位距离Ｍ地的运费是Ｎ地运费的３倍．已知Ｍ，Ｎ 两地的距离为１０千米，顾客选Ｍ地或Ｎ地购买这种商 品的标准为包括运费和价格的总费用较低．求 Ｍ，Ｎ两 地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲 线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 解：如图４，以Ｍ，Ｎ所确定的直 线为ｘ轴，Ｍ，Ｎ的中点Ｏ为坐标原 点，建立直角坐标系． 根据题意，有Ｍ（－５，０），Ｎ（５， ０）． 设某地 Ｐ的坐标为（ｘ，ｙ），并 设Ｍ地运费为３ａ元 ／千米，Ｎ地运费为ａ元 ／千米． 因此，当由Ｐ地到Ｍ，Ｎ两地购货总费用相等时，有 Ｍ地运费 ＋价格 ＝Ｎ地运费 ＋价格， 所以３ａ （ｘ＋５）２＋ｙ槡 ２ ＝ａ （ｘ－５）２＋ｙ槡 ２． 因为ａ＞０， 所以３ （ｘ＋５）２＋ｙ槡 ２ ＝ （ｘ－５）２＋ｙ槡 ２． 两边平方并整理，得 ｘ＋２５( )４ ２ ＋ｙ２ ＝ １５( )４ ２ ． （１）当Ｐ地在以 －２５４，( )０为圆心， １５ ４为半径的圆 上时，居民到Ｍ，Ｎ两地购货总费用相等； （２）当Ｐ地在上述圆内时， ｘ＋２５( )４ ２ ＋ｙ２ ＜ １５( )４ ２ ， 即［９（ｘ＋５）２ ＋９ｙ２］－［（ｘ－５）２ ＋ｙ２］ ＝ ８ ｘ＋２５( )４ ２ ＋ｙ２－ １５( )４[ ] ２ ＜０， 所以３ （ｘ＋５）２＋ｙ槡 ２ ＜ （ｘ－５）２＋ｙ槡 ２， 故此时到Ｍ地购货最合算． （３）当Ｐ地在上述圆外时，到Ｎ地购货最合算． 书 １８．（１７分）（２０２４河北望都中学月考）已知圆心为 Ｃ的圆经过点Ａ（－１，１）和Ｂ（－２，－２），且圆心Ｃ在直线 ｌ：ｘ＋ｙ－１＝０上． （１）求圆心为Ｃ的圆的标准方程； （２）已知线段ＭＮ的端点Ｍ的坐标（３，４），另一端点 Ｎ在圆Ｃ上运动，求线段ＭＮ的中点Ｇ的轨迹方程． １９．（１７分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几 里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点Ａ，Ｂ的 距离之比为定值λ（λ≠１）的点所形成的图形是圆．后 来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系ｘＯｙ中，Ａ（－１，０）， Ｂ（３，０）．动点Ｐ满足｜ＰＡ｜｜ＰＢ｜＝ １ ３，设动点Ｐ的轨迹为曲 线Ｃ． （１）求曲线Ｃ的方程； （２）求曲线Ｃ关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的曲线方程； （３）在Ｃ上是否存在点Ｄ，使得Ｄ (到点 ５２， )３ 的 距离为３？ !"#$%&'() ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !*+, !-) 书 求圆的方程的题型有很多，如果认真分析题目条 件，根据已知条件的不同采用不同的方法求圆的方程， 可以取得事半功倍的效果．下面就常见的题型进行剖 析，希望能对同学们有所帮助． 一、直接法 例１已知圆Ｃ的圆心为（－１，１），点Ａ（２，－１）在圆 Ｃ上，求圆Ｃ的方程． 解：因为点Ａ在圆Ｃ上， 则Ａ，Ｃ两点间的距离等于圆Ｃ的半径． ｜ＡＣ｜＝ （２＋１）２＋（－２）槡 ２ ＝槡１３． 所以圆Ｃ的方程为（ｘ＋１）２＋（ｙ－１）２ ＝１３． 二、待定系数法 例２求过三点Ｏ（０，０），Ｍ（１，１），Ｎ（４，２）的圆的方 程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 解：设圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０． 因为Ｏ（０，０），Ｍ（１，１），Ｎ（４，２）在圆上， 把它们的坐标代入圆的方程得到关于 Ｄ，Ｅ，Ｆ的三 元一次方程组，即 Ｆ＝０， Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋２＝０， ４Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＋２０＝０ { ． 解得Ｄ＝－８，Ｅ＝６，Ｆ＝０． 所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－８ｘ＋６ｙ＝０． ｒ＝１２ Ｄ ２＋Ｅ２－４槡 Ｆ＝５，－ Ｄ ２ ＝４，－ Ｅ ２ ＝－３． 所以半径为５，圆心坐标为（４，－３）． 三、利用对称性法 例３将圆Ｃ：（ｘ＋１）２＋（ｙ－４）２＝１绕点Ａ（２，－２）按 顺时针方向旋转１８０°得到曲线Ｍ，求曲线Ｍ的轨迹方程． 解：圆Ｃ的圆心坐标为Ｃ（－１，４）． 圆Ｃ按顺时针方向旋转１８０°得到曲线Ｍ的轨迹仍 为圆，半径ｒ＝１． 由题意可知圆心Ｍ与Ｃ（－１，４）关于点Ａ（２，－２） 对称，即Ａ为ＭＣ的中点． 设Ｍ（ｘ，ｙ），根据中点坐标公式有 ｘ－１ ２ ＝２， ｙ＋４ ２ ＝－２． 解得Ｍ（５，－８）． 所以曲线Ｍ的轨迹方程为（ｘ－５）２＋（ｙ＋８）２ ＝１． 四、图形结合 例４已知Ｂ，Ｄ两点在圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上运动，Ａ（ａ， ０）是圆Ｏ内一点（其中０＜ａ＜ｒ），且ＡＢ⊥ＡＤ，四边形 ＡＢＰＤ是矩形，则Ｐ点的轨迹方程是 （　　） （Ａ）ｘ２＋ｙ２＋４ｒ２ ＝０ （Ｂ）ｘ２＋ｙ２＋２ｒ２－ａ２ ＝０ （Ｃ）ｘ２＋ｙ２－２ｒ２＋ａ２ ＝０ （Ｄ）ｘ２＋ｙ２－４ｒ２ ＝０ 解：设Ｐ（ｘ，ｙ），点Ｍ为矩形ＡＢＰＤ两对角线的交点， 且 (Ｍ ｘ＋ａ２ ，ｙ)２ ． 如下图所示， 易知｜ＤＭ｜２ ＝｜ＡＭ｜２ (＝ １２ )｜ＡＰ｜ ２ ＝ １４［（ｘ－ａ） ２＋ｙ２］． 又｜ＤＯ｜２ ＝｜ＤＭ｜２＋｜ＯＭ｜２， 即ｒ２ ＝１４［（ｘ－ａ） ２＋ｙ２］ (＋ ｘ＋ａ)２ ２ (＋ ｙ)２ ２ ， 整理得ｘ２＋ｙ２－２ｒ２＋ａ２ ＝０．故选（Ｃ）． 书 一、方程的形式 圆的标准方程的形式为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２，圆 心为（ａ，ｂ），半径为 ｒ．圆的一般方程的形式为 ｘ２＋ｙ２＋ Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，其中Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０．圆的两种方程 的形式虽然不同，但它们的本质是相同的，并且可以相 互转化，在不同的条件下它们各有优势． 二、方程的特点 圆的标准方程的特点是明确指出了圆心和半径，圆 心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小，这就为进一 步研究圆的有关性质作好了准备． 圆的一般方程进一步突出了圆的方程形式上的特 点：（１）没有ｘｙ这样的二次项；（２）二次项的系数相等． 由圆的一般方程的特点可以较容易地判断一般的二元 二次方程是否表示圆． 三、方程的适用环境 如果题目中涉及到了圆的圆心和半径，则一般用圆 的标准方程求解；如果题目没有给出圆心和半径或者根 据已知条件不易确定圆心和半径时一般考虑使用圆的 一般方程． 四、方程的应用举例 例 求圆心在直线２ｘ－ｙ－３＝０上，且过点（５，２）和 点（３，－２）的圆的方程． 分析一：因为已知与圆心有直接关系，所以可以考 虑圆的标准方程． 解法一：设圆的方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝ｒ２，则 ２ａ－ｂ－３＝０， （５－ａ）２＋（２－ｂ）２ ＝ｒ２， （３－ａ）２＋（－２－ｂ）２ ＝ｒ２ { ． 解得 ａ＝２， ｂ＝１， ｒ＝槡１０ { ． 所以圆的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２ ＝１０． 分析二：因为题目已给出圆过点的信息，所以也可 以用圆的一般方程． 解法二：设圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，则 圆心坐标为 －Ｄ２，－ Ｅ( )２ ，将已知两点坐标代入圆的方 程，将圆心坐标代入已知直线的方程，得 ５２＋２２＋５Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＝０， ３２＋（－２）２＋３Ｄ－２Ｅ＋Ｆ＝０， ２Ｄ－Ｅ＋６＝０ { ． 解得 Ｄ＝－４， Ｅ＝－２， Ｆ＝－５ { ． 所以圆的方程为ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ－５＝０． 点评：确定圆的方程的主要方法是待定系数法．在 用待定系数法求圆的方程时，要善于根据已知条件的特 征来选择圆的方程．如果已知圆心和半径，或圆心到直 线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某 些点，通常选用圆的一般方程． 书 圆的方程主要有标准方程和一般方程，那么在具 体求圆的方程过程中，对这两种形式的方程应如何选 择呢？ 一、标准方程的选择 根据标准方程的结构特点，选择标准方程一般具 有如下特征：（１）条件中涉及到圆心；（２）涉及到圆的 半径．选用圆的标准方程有两种求法：（１）根据条件直 接求得ａ，ｂ，ｒ，然后代入标准形式；（２）利用待定系数 法，建立关于ａ，ｂ，ｒ的方程（组）求解． 例１已知圆心在直线ｘ＝－１上，半径为槡２９的圆 Ｃ与圆Ｃ′：ｘ２＋ｙ２－６ｘ＋２ｙ－１０＝０的圆心之间的距 离为２槡５，求圆Ｃ的方程． 解：根据条件可设圆Ｃ的方程为 （ｘ＋１）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝２９． 圆Ｃ′的方程配方得（ｘ－３）２＋（ｙ＋１）２ ＝２０， 其圆心为（３，－１）． 则 （－１－３）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝２槡５， 解得ｂ＝－３或ｂ＝１． 故所求圆Ｃ的方程为（ｘ＋１）２＋（ｙ＋３）２ ＝２９ 或（ｘ＋１）２＋（ｙ－１）２ ＝２９． 例２求圆心在直线５ｘ－３ｙ＝８上，且与坐标轴相 切的圆的方程． 解：设所求圆的方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝ｒ２． 因为圆与坐标轴相切，所以ａ＝±ｂ，ｒ＝｜ａ｜． 又因为圆心（ａ，ｂ）在直线５ｘ－３ｙ＝８上， 所以５ａ－３ｂ＝８． 由 ａ＝±ｂ， ５ａ－３ｂ＝８，{ ｒ＝｜ａ｜ 解得 ａ＝４， ｂ＝４， ｒ＝ { ４ 或 ａ＝１， ｂ＝－１， ｒ＝１ { ． 所以所求圆的方程为（ｘ－４）２＋（ｙ－４）２ ＝１６ 或（ｘ－１）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． 二、一般方程的选择 由于一般方程体现方程的“一般性”，因此求圆的 方程均可选用此种形式，但是如果不考虑试题的特点， 都选用一般方程，有时会增加运算量．通常情况下求圆 的方程要优先考虑用标准方程，其次才考虑一般方程． 例３求经过Ａ（４，２），Ｂ（－１，３）两点，且在两坐标 轴上的四个截距之和是２的圆的方程． 解：设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０， 令ｙ＝０，得ｘ２＋Ｄｘ＋Ｆ＝０， 所以圆在ｘ轴上的截距之和为ｘ１＋ｘ２ ＝－Ｄ， 令ｘ＝０，得ｙ２＋Ｅｙ＋Ｆ＝０， 所以圆在ｙ轴上的截距之和为ｙ１＋ｙ２ ＝－Ｅ． 由题设ｘ１＋ｘ２＋ｙ１＋ｙ２ ＝－（Ｄ＋Ｅ）＝２， 所以Ｄ＋Ｅ＝－２． ① 又Ａ（４，２），Ｂ（－１，３）在圆上， 所以１６＋４＋４Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＝０， ② １＋９－Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ＝０． ③ 由①②③解得Ｄ＝－２，Ｅ＝０，Ｆ＝－１２， 故所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ－１２＝０． " ./ 012 ! " # $ % & ' ( " 34 567 !"#$ %&' ()*+,-./ 8'9 !:"-;<= !"#$%&' ()*+,-.!/0 1!23456789 +5:;<=>?@*A @BC'DEF G:; @HI34* JKL M<=!234"N OPMA@QRS 1BCT/67UV W XYZ[34\834 ]^_^`" ;aZA @bcdTefg Nh $(ij" ()klmnK " hop-.!/378 Zq1!2r4"+9< O>?@8 A@pBC 'DEF G:;@JK st<O!2r4"Gu$ vwxyz{O>?@8 |}z8n~}5€ [‚ƒA@g N >?@A„…†‡ ˆ‰Š‹ŒŽ8d ‘X’“[‡ˆ‰ Š‹5”•\–—z ! ˜™A‘XšYZ [›œžŸ\8;  –]¡¢£¤! !2¥¦¢x§ [!¨`©ª\8«¬ ¬x­ƒ|®" T¯8°±²% !2³´" =µ¶¥8 A[· DEV N³´9" =̧ [T¹‚º¯ »"N+st" =‚º¯»V ¼¼g ¯»DEe8 A½M UV N³´9" =c½M" c¾8¿ j¯»À2ŒÁÂ5 ÃÄ8ŏdCAÆ Ç8ÈE8A–]%É8 ÊËÌ\zÍ8ÊËÎ 'Ï*ÊËÐ2ÑÒu BCDEC FGHI ! " ! #"$ #$%&%'&()' (! ($*)" #JKLML- + #NRST- #UVWXYA$!)(,)%'-%). #Z[WXYA/!)(#)%'(%)) #JK\]A^4_`abcdefgh (!% ijkKlm;jnUVW #opUqA/!///. #brWsKtuA/!)(#)%'((%) /!)(#)%'(%!'8vw) #sxAyDJKbrW]z{|1}~o!€= #opsxtuA(((0) #‚Fƒs„…s†‡s #JKˆ|1}_8b)‰Š‹ŒK #Z[Ž‘iA-&////&///--/ #’“A111+23456789":9; #JK”•/–—v˜™š›œž!Ÿ b¡¢e£¤¥¦§¨©ª (( i=«™:¬›™­®¯°±:yDJKbrW]z²³ ! ! !"#$% m;jń µ¶·¸¹,Sº8»¼>-), ! 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Ó ! ,% ) $ Ô Ô % ) $ $ ' + , ! ! $ 书 １．圆Ｃ：（ｘ－２）２＋（ｙ＋１）２ ＝３的圆心坐标是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）（２，１） （Ｂ）（２，－１） （Ｃ）（－２，１） （Ｄ）（－２，－１） ２．以原点为圆心，４为半径的圆的方程是 （　　） （Ａ）ｘ２＋ｙ２ ＝４ （Ｂ）ｘ２＋ｙ２ ＝１６ （Ｃ）ｘ２＋ｙ２ ＝２ （Ｄ）（ｘ－４）２＋（ｙ－４）２ ＝１６ ３．圆Ｃ：（ｘ－槡２） ２＋（ｙ＋槡３） ２ ＝４的面积等于 （　　） （Ａ）π　　 （Ｂ）２π　　 （Ｃ）４π　　 （Ｄ）８π ４．若圆Ｃ与圆（ｘ＋２）２＋（ｙ－１）２ ＝１关于原点对 称，则圆Ｃ的标准方程是 ． ５．若点Ｐ（－１，槡３）在圆ｘ ２＋ｙ２＝ｍ上，则实数ｍ＝ ． ６．若点Ｐ（１，１）为圆（ｘ－３）２＋ｙ２＝９的弦ＭＮ的中 点，求弦ＭＮ所在直线的方程． １．圆（ｘ＋１） ２＋（ｙ－２）２ ＝２化为一般方程是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）ｘ２＋ｙ２ ＝２ （Ｂ）ｘ２＋ｙ２＋３＝０ （Ｃ）ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋４ｙ＋３＝０ （Ｄ）ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋３＝０ ２．圆ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋６ｙ＋８＝０的周长等于 （　　） （Ａ）槡２π　　（Ｂ）２π　　 （Ｃ）槡２２π　　（Ｄ）４π ３．圆的方程为（ｘ－１）（ｘ＋２）＋（ｙ－２）（ｙ＋４）＝ ０，则圆心坐标为 （　　） （Ａ）（－１，２） （Ｂ）（１，－１） （Ｃ (） １２，－ )１ （Ｄ (） －１２，－ )１ ４．经过圆ｘ２＋２ｘ＋ｙ２＝０的圆心Ｃ，且与直线ｘ＋ ｙ＝０垂直的直线方程是 ． ５．已知点Ａ（１，２）在圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ＋３ｙ＋ｍ＝０ 内，则ｍ的取值范围是 ． ６．判断下列方程表示什么图形． （１）ｘ２＋ｙ２ ＝０； （２）ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－３＝０； （３）ｘ２＋ｙ２＋２ａｘ＋２ｂｙ＝０． 书 专项小练一 １．ＡＢＤ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．４；　５．垂直． ６．解：因为ｋＡＣ ＝ ２＋ 槡２２－２ ２－４ ＝－槡２， ｋＢＣ ＝ ２－ 槡２２－２ ０－４ ＝ 槡２ ２， 则ｋＡＣ·ｋＢＣ ＝－槡２×槡 ２ ２ ＝－１， 所以ＡＣ⊥ＢＣ．故△ＡＢＣ是直角三角形． 专项小练二 １．ＡＤ；　２．Ｃ；　３．Ｃ．　４．（－４，３）；　５．－３． ６．解：（１）解方程组 ３ｘ－ｙ＋４＝０， ｘ＋３ｙ＋２＝０{ ，得 ｘ＝－７５， ｙ＝－１５ { ， 所以这两条直线相交， (交点坐标是 －７５，－ )１５ ． （２）ｌ２：９ｘ－１５ｙ＋３０＝０可化为方程３ｘ－５ｙ＋１０＝０， 所以 ３ｘ－５ｙ＋１０＝０， ９ｘ－１５ｙ＋３０＝{ ０有无数多个解， 故ｌ１：３ｘ－５ｙ＋１０＝０与ｌ２：９ｘ－１５ｙ＋３０＝０重合． 专项小练三 １．Ｂ；　２．ＢＣＤ；　３．Ａ．　４．２或 －４；　５． 槡１２５５ ． ６．解：（１）由点到直线的距离公式可得 ｄ＝｜３×３－４×（－２）－１｜ ３２＋（－４）槡 ２ ＝１６５． （２）由直线ｙ＝６与ｘ轴平行，得ｄ＝｜６－（－２）｜＝８． （３）ｄ＝｜３｜＝３． 一、单项选择题 １～４　ＢＣＡＤ　５～８　ＡＢＢＡ 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＢＣＤ． 三、填空题 １２． 槡７ １０２０ ；　１３．槡２５；　１４．１． 四、解答题 １５．解：如图１，设 Ｐ（０，３）点关 于直线ｘ－ｙ＋１＝０的对称点的坐 标为Ｐ′（ａ，ｂ）， 则 ａ ２ － ｂ＋３ ２ ＋１＝０， ｂ－３ ａ ＝－１ { ， 解得ａ＝２，ｂ＝１， 所以Ｐ′（２，１）． 设Ｑ（－２，３），Ｎ为直线ｘ－ｙ＋１＝０上的点， 则｜ＰＮ｜＝｜ＰＮ′｜．则｜ＱＮ｜＋｜ＰＮ｜＝｜ＱＮ｜＋｜Ｐ′Ｎ｜≥ ｜ＱＰ′｜，当且仅当Ｑ，Ｎ，Ｐ′三点共线时取等号． 而｜ＱＰ′｜＝ （－２－２）２＋（３－１）槡 ２ ＝ 槡２５， 所以最短总路程为 槡２５． １６．解：（１）由 ２ｘ－ｙ＋３＝０， ３ｘ－ｙ＋２＝０{ ，解得 ｘ＝１， ｙ＝５{ ， 即两直线的交点坐标为（１，５）． 则直线经过点（１，５）和（２，３）， 由两点式方程得， ｙ－３ ５－３＝ ｘ－２ １－２， 化简得所求直线方程为２ｘ＋ｙ－７＝０． （２）由３ｘ＋ｙ－１＝０可得直线的斜率为 －３， 故平行于直线３ｘ＋ｙ－１＝０的直线的斜率为 －３， 结合（１）问可知：两条直线ｙ＝２ｘ＋３与３ｘ－ｙ＋２＝０的 交点为（１，５）， 由点斜式方程得，ｙ－５＝－３（ｘ－１）， 化简得所求直线方程为３ｘ＋ｙ－８＝０． １７．解：因为Ａ，Ｂ两点纵坐标不相等， 所以ＡＢ与ｘ轴不平行，而ＡＢ⊥ＣＤ， 所以ＣＤ与ｘ轴不垂直，则 －ｔ≠３，即ｔ≠－３． ①当ＡＢ与ｘ轴垂直时，－ｔ－３＝－２ｔ－４， 解得ｔ＝－１，此时Ｃ，Ｄ的纵坐标均为 －１， 所以ＣＤ∥ｘ轴，此时ＡＢ⊥ＣＤ，满足题意． ②当ＡＢ与ｘ轴不垂直时，由斜率公式 ｋＡＢ ＝ ４－２ －２ｔ－４－（－ｔ－３）＝－ ２ ｔ＋１， ｋＣＤ ＝ ３ｔ＋２－ｔ ３－（－ｔ）＝ ２（ｔ＋１） ｔ＋３ ， 因为ＡＢ⊥ＣＤ，所以ｋＡＢ·ｋＣＤ ＝－１， 即 － ２ｔ＋１· ２（ｔ＋１） ｔ＋３ ＝－１，解得ｔ＝１， 综上，ｔ的值为１或 －１． １８．解：（１）设ＡＢ边的垂直平分线所在的直线为ｌ， 由题可知ｋＡＢ ＝ ５－３ ２－１＝２，则ｋｌ＝－ １ ２， 又可知ＡＢ (的中点坐标为 ３２， )４ ， 所以ｌ的方程为ｙ－４＝－ (１２ ｘ－ )３２ ， 即ｙ＝－１２ｘ＋ １９ ４． （２）设Ｂ关于直线ｘ－ｙ＋３＝０的对称点Ｍ的坐标为（ａ，ｂ）， 则 ｂ－３ ａ－１＝－１， １＋ａ ２ － ３＋ｂ ２ ＋３＝０ { ，解得 ａ＝０，ｂ＝４{ ，所以Ｍ（０，４）， 由题可知Ａ，Ｍ两点都在直线ＡＣ上， 所以直线ＡＣ的斜率为５－４２－０＝ １ ２， 所以直线ＡＣ的方程为ｙ－４＝ １２（ｘ－０）， 所以ＡＣ所在直线的方程为ｘ－２ｙ＋８＝０． １９．解：显然四边形ＡＢＣＤ为等腰梯形， 因为ａ＞０，根据等腰梯形的对称性可知：当ｂ＞１或ｂ≤０ 时不符合题意，所以０＜ｂ≤１． 当ａ＝ １２，ｂ＝１时，设直线ＥＣ：ｙ＝ １ ２ｘ＋１与ｙ轴的交点 Ｆ（０，１），根据等腰梯形的对称性可知符合题意； 当ａ＞ １２，ｂ＝１时，设直线 ｙ＝ａｘ＋１与梯形上、下底分别交 于Ｍ，Ｎ，如图２， 因为三角形 ＭＣＦ与三角形 ＮＥＦ全等， 所以直线ｙ＝ａｘ＋ (１ ａ＞ )１２ 将四边形ＡＢＣＤ分割为面 积相等的两部分； 当０＜ａ＜ １２时，设直线ｙ＝ｂ与ｙ轴交于Ｇ点，与梯形的 两腰交于Ｑ，Ｐ， 由题直线ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ＞０） 将四边形ＡＢＣＤ分割为面积相等 的两部分，则设该直线与梯形的 两腰交于Ｋ，Ｈ．如图３， 可知：直线 ＡＤ：ｙ＝ｘ＋４， ＢＣ：ｙ＝４－ｘ， 联立 ｙ＝ｘ＋４， ｙ＝ａｘ＋ｂ{ ，解得 ｘ＝４－ｂａ－１， ｙ＝４ａ－ｂａ－１ { ，即 (Ｋ ４－ｂａ－１，４ａ－ｂａ－ )１ ， 同理可得：Ｑ（ｂ－４，ｂ）， (Ｈ ４－ｂａ＋１，４ａ＋ｂａ＋ )１ ，Ｐ（４－ｂ，ｂ）． 由题意可得：Ｓ梯形ＡＢＰＱ －Ｓ△ＧＱＫ＋Ｓ△ＨＧＰ ＝ １ ２Ｓ梯形ＡＢＣＤ， 即 （８＋８－２ｂ）ｂ ２ － １ ２（４－ｂ (） ｂ－４ａ－ｂａ－ )１ ＋ １２（４－ ｂ (） ４ａ＋ｂａ＋１ )－ｂ ＝６， 整理得ａ２ ＝ｂ ２－８ｂ＋６ －１０ (∈ ０， )１４ ，且０＜ｂ≤１， 解得４－槡１０＜ｂ≤１． 综上所述：ｂ的取值范围是（４－槡１０，１］． 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．圆ｘ２＋ｙ２－６ｘ＝０的圆心坐标和半径分别为 （　　） （Ａ）（０，３），３ （Ｂ）（３，０），３ （Ｃ）（－３，０），６ （Ｄ）（３，０），６ ２．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，动点Ｐ的坐标满足（ｘ －１）２＋（ｙ－３）２ ＝４，则点Ｐ的轨迹经过 （　　） （Ａ）第一、二象限 （Ｂ）第二、三象限 （Ｃ）第三、四象限 （Ｄ）第一、四象限 ３．以Ａ（－１，２），Ｂ（５，－６）为直径的两端点的圆的 标准方程为 （　　） （Ａ）（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２ ＝２５ （Ｂ）（ｘ＋２）２＋（ｙ－２）２ ＝２５ （Ｃ）（ｘ＋２）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５ （Ｄ）（ｘ－２）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５ ４．已知圆Ｃ：（ｘ－６）２＋（ｙ＋８）２ ＝４，Ｏ为坐标原 点，则以ＯＣ为直径的圆的方程为 （　　） （Ａ）（ｘ－３）２＋（ｙ＋４）２ ＝１００ （Ｂ）（ｘ＋３）２＋（ｙ－４）２ ＝１００ （Ｃ）（ｘ－３）２＋（ｙ＋４）２ ＝２５ （Ｄ）（ｘ＋３）２＋（ｙ－４）２ ＝２５ ５．（２０２４海南嘉积中学专项训练）与圆ｘ２＋ｙ２－４ｘ ＋６ｙ＋３＝０同圆心，且过（１，－１）的圆的方程是 （　　） （Ａ）ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋６ｙ－８＝０ （Ｂ）ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋６ｙ＋８＝０ （Ｃ）ｘ２＋ｙ２＋４ｘ－６ｙ－８＝０ （Ｄ）ｘ２＋ｙ２＋４ｘ－６ｙ＋８＝０ ６．（２０２４北京模拟）已知平面上点Ｐ∈｛（ｘ，ｙ）｜（ｘ －ｘ０） ２＋（ｙ－ｙ０） ２ ＝１６｝，其中ｘ２０＋ｙ ２ ０ ＝４，当ｘ０，ｙ０变 化时，则满足条件的点Ｐ在平面上所组成图形的面积是 （　　） （Ａ）４π （Ｂ）１６π （Ｃ）３２π （Ｄ）３６π ７．（２０２４山东专题练习）点Ｍ为圆Ｃ：（ｘ＋２）２＋（ｙ ＋１）２＝４上任意一点，直线（３λ＋１）ｘ＋（２λ＋１）ｙ＝５λ ＋２过定点Ｐ，则｜ＭＰ｜的最大值为 （　　） （Ａ）槡１３ （Ｂ）槡１３＋２ （Ｃ）槡２３ （Ｄ）槡２３＋２ ８．（２０２４河北邢台阶段练习）已知圆Ｃ１：（ｘ－２） ２＋ （ｙ－３）２＝１，圆Ｃ２：（ｘ－３） ２＋（ｙ－４）２＝９，Ｍ，Ｎ分别 是圆Ｃ１，Ｃ２上的动点，Ｐ为 ｘ轴上的动点，则 ｜ＰＭ｜＋ ｜ＰＮ｜的最小值为 （　　） （Ａ）槡５２－４ （Ｂ）槡１７－１ （Ｃ）６－ 槡２２ （Ｄ）槡１７ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４河南平顶山市期末）下列命题正确的是 （　　） （Ａ）圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋４ｙ－４＝０的面积为９π （Ｂ）圆ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０的圆心坐标为（１，０） （Ｃ）已知点Ａ（－２，１），Ｂ（０，－３），则以线段ＡＢ为 直径的圆的方程为（ｘ＋１）２＋（ｙ＋１）２ ＝５ （Ｄ）已知Ｏ为坐标原点，Ｐ为圆Ｃ：（ｘ－２）２＋（ｙ＋ ４）２ ＝５上的动点，则｜ＰＯ｜的最小值为 槡２５ １０．（２０２４浙江模拟）已知面积为 槡１２３的等边三角 形 ＡＢＣ的内心为Ｍ，点Ｎ满足｜ＭＮ｜＝１，则→ＮＡ·→ＮＢ的 值可能为 （　　） （Ａ）－９ （Ｂ）－１２ （Ｃ）－１１ （Ｄ）－１０ １１．（２０２４江西新余期末）太 极图被称为“中华第一图”，闪烁 着中华文明进程的光辉，它是由 黑白两个鱼形纹组成的图案，俗 称阴阳鱼，太极图展现了一种相 互转化，相对统一的和谐美．定 义：若一个函数的图象能够将圆Ｏ的周长和面积同时等 分成两个部分，则称该函数为圆 Ｏ的一个“太极函数”， 设圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２ ＝１，则下列说法中正确的是 （　　） （Ａ）函数ｙ＝ｘ３＋ｘ是圆Ｏ的一个太极函数 （Ｂ）函数ｆ（ｘ）的图象关于原点对称是 ｆ（ｘ）为圆 的太极函数的充要条件 （Ｃ）圆Ｏ的所有非常数函数的太极函数都不能为 偶函数 （Ｄ）函数ｙ＝ｓｉｎｘ是圆Ｏ的一个太极函数 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４广东期中）已知ｍ∈Ｒ，方程（３ｍ－１）ｘ２ ＋（ｍ２＋１）ｙ２＋８ｘ－４ｙ＋５ｍ＝０表示圆，则圆心坐标是 ． １３．（２０２４广东惠州课时练习）已知圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－ ４ｙ＋ａ＝０关于直线ｙ＝２ｘ＋ｂ成轴对称，则ａ－ｂ的取 值范围是 ． １４．（２０２４四川雅安专题练习）已知等腰三角形 ＡＢＣ的底边ＢＣ对应的顶点是Ａ（４，２），底边的一个端点 是 Ｂ（３，５），则底边另一个端点 Ｃ的轨迹方程是 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）若圆Ｃ经过坐标原点，且圆心在直线２ｘ ＋ｙ－３＝０上运动，求半径最小时圆的方程． １６．（１５分）（２０２４上海普陀阶段测试）１９７２年９月， 苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决 造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我 国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献．造船 时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线 的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求 出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线．如图２， 已知圆弧 ) ＡＢ的半径 ｒ＝２９米，圆弧 ) ＡＢ所对的弦长ｌ＝１２ 米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧 ) ＡＢ的方 程（答案中数据精确到０．００１米，槡８０５≈２８３７３）． １７．（１５分）（２０２４湖北咸宁月考）已知圆 Ｐ过点 Ａ（１，０），Ｂ（４，０）． （１）若圆Ｐ还过点Ｃ（６，－２），求圆Ｐ的方程； （２）若圆心Ｐ的纵坐标为２，求圆Ｐ的标准方程                                                                                                                                                             ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$%&'()*+,-./0123+ ! 4 !"#$%&' ,56789:; <567,=:; >?@ !A"2"B3 !"#$%%&'()* +,, -./012345 6789:; <=45 23><?@ABCD; EBFA0GHIJK 0LMNOD/PQRS ATUVWX, -GGG/ YVZ [/ B\]@0C^/ P X]_`aS, QRbcAdG, efg; ehij klVmXnop:q r0stu+v> P -stu>u?45 wx> PXp, -uT?23y/ P 1CDE 8UHe z{|}~Nl;U €*‚; 8ƒ„…† ‡ˆ23; ‰Š‹lŒ NŽ‘! 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