专题04 函数的奇偶性的判断及其应用-学会解题之高三数学多题一解【2023版】

学会解题+万能模板 专题04 函数的奇偶性的判断及其应用 【高考地位】 函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题． 类型一 函数奇偶性的判断 万能模板 内 容 使用场景 一般函数类型 解题模板 第一步 确定函数的定义域； 第二步 判断其定义域是否关于原点对称； 第三步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步 得出结论. 例1 判断下列函数的奇偶性： (1) ；(2) ；(3). 【解析】（1）第一步，确定函数的定义域： 由不等式得，所以函数的定义域为 第二步，判断其定义域是否关于原点对称： 因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步，得出结论. 所以函数为偶函数。 （2）第一步，确定函数的定义域： 由不等式得，所以函数的定义域为 第二步，判断其定义域是否关于原点对称： 因为函数的定义域为，所以定义域不关于原点对称 第三步，得出结论. 所以函数既不是奇函数也不是偶函数；。 （3）第一步，确定函数的定义域： 由不等式得或，所以函数的定义域为或 第二步，判断其定义域是否关于原点对称： 因为函数的定义域为或，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步，得出结论. 所以函数为奇函数。 【点评】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证或其等价形式是否成立． 【变式演练1】（2022·江苏省高邮中学高三开学考试）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可得结果. 【详解】是奇函数，但整个定义域内不是增函数，故A错误； ，因为，所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确； 在定义域上是奇函数不是单调函数，故C错误； 在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误. 故选：B. 【点睛】 本题考查判断已知函数的奇偶性和单调性，属于中档题. 结论点睛：（1）奇函数加奇函数为奇函数； （2）偶函数加偶函数为偶函数； （3）奇函数乘奇函数为偶函数； （4）偶函数乘偶函数为偶函数； （5）奇函数乘偶函