专题03 函数的单调性和最值的处理途径-学会解题之高三数学多题一解【2023版】

学会解题+万能模板 专题03 函数的单调性和最值的处理途径 【高考地位】 函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式． 方法一 定义法 万能模板 内 容 使用场景 一般函数类型 解题模板 第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：； 第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论. 例1 （2022·浙江·高三开学考试）（多选）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C． D． 【答案】BC 【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除得到，然后根据，即可判断与两者的大小，从而判断选项A，选项B由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定与的大小，从而确定函数的单调性，选项C和选项D，可利用前面得到的不等式，令，带入，然后借助是奇函数进行变换即可完成判断. 【详解】由已知，，， 所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 因为，所以在上单调递增，故选项A错误； 因为，，所以， 所以， 即，又因为， 所以在上单调递减，选项B正确； 因为时，恒成立， 所以令，代入上式得，即， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，故选项C正确，选项D错误. 故选：BC. 例2 （2021·辽宁·沈阳二中高三开学考试）已知定义域为的函数对任意的实数，满足，且，，并且当时，， ①函数是奇函数；②函数在上单调递增 ③函数是以2为周期的周期函数；④ 其中的真命题有______．（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③ 【分析】利用赋值法，令，即可判断①，根据单调性的定义以及奇函数即可判断②，根据周期函数的定义以及奇函数即可对③作出判断，由函数的周期性以及奇函数即可求解④. 【详解】令，可得，，函数是奇函数，故①正确； 设，则当时，， ，因为，所以,故, ，函数在上单调递增，故②正确； ，可得， 函数是以2为周期的周期函数，故③正确； ④由③知的周期为2，所以，故④不正确． 故答案为：①②③ 【变式演练1】（2022·四川省德阳市第三中学高三开学考试）已知函数． (1)判断并证明在其定义域上的单调性； (2)若对任意恒成