专题02 常见函数值域或最值的经典求法-学会解题之高三数学多题一解【2023版】

学会解题+万能模板 专题02 常见函数值域或最值的经典求法 【高考地位】 函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法. 方法一 观察法 万能模板 内 容 使用场景 函数值域求解 解题模板 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 例1（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】可以求出选项A函数的值域为，选项D函数的值域为，选项BC函数的值域为，即得解. 【详解】解：A. 函数的值域为，所以该选项不符合题意； B.因为，所以函数的值域为，所以该选项符合题意； C.因为，所以函数的值域为，所以该选项符合题意； D. 函数的值域为，所以该选项不符合题意. 故选：BC 【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域是______________（用区间表示） 【答案】 【分析】根据二次函数、一次函数的性质，分别求解时和时，函数的值域，综合即可得答案. 【详解】当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以， 当时，，为单调递减函数， 所以， 综上：，即的值域为. 故答案为： 方法二 分离常数法 万能模板 内 容 使用场景 函数值域求解 解题模板 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 例2 求函数的值域. 【解析】第一步，观察函数类型，型如； 第二步，变形： 函数， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域： 根据反比例函数的性质可知：，所以，所以函数的值域为. 【变式演练2】函数； ①的值域是__________； ②的值域是__________． 【答案】          【分析】，然后画出其图像，结合图像可得答案. 【详解】， 其图像可由反比例函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下： 当时，当时， 所以的值域是， 因为当时，当时， 所以的值域是， 故答案为： ； 方法三