专题05 函数的周期性和对称性形影不离-学会解题之高三数学多题一解【2023版】

学会解题+万能模板 专题05 函数的周期性和对称性形影不离 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 类型一 函数的周期性的判定及应用 万能模板 内 容 使用场景 几类特殊函数类型 解题模板 第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； （1）若函数满足，则函数的周期为； （2）若函数满足或或，则函数 的周期为； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】第一步，准确求出函数的周期性： 由，可知是周期为的函数， 第二步，运用函数的周期性求解实际问题： 令故，代入解析式，得，解得， 从而， 故，故选C. 【点评】函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． 【变式演练1】（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知函数，任意，满足，且，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】抽象函数利用特殊值的思路可以得到函数在取奇数和偶数的时候的规律，然后可以得到函数值的和. 【详解】令，，则，所以； 令，，则，所以； 令，则，所以， . 令，，则①，令，，则②， 令，，则③， 假设，那么由③可知，将，代入②式发现与矛盾，所以不成立，. 同理可得当x为偶数时，. 所以原式=. 故选：C. 【变式演练2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解. 【详解】因为当时，，所以， 又因为函数满足，所以函数的部分图像如下， 由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误. 故选：B. 【变式演练3】（多选）（2022·云南·高三阶段练习）已知函数的定义域为，都