专题5.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题5.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道） 【苏科版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！ 一．选择题（共10小题） 1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，则t的取值范围为（　　） A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019 C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021 【分析】联立方程组求得C点坐标，并由只有一个交点条件求得a、b的关系式，再由新定义和2≤[C]≤4列出b的不等式，求得b的取值范围，由t＝2b2﹣4a+2020，得出t关于b的函数解析式，再根据函数的性质求得t的取值范围． 【解答】解：由题意方程组只有一组实数解， 消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0， 由题意得Δ＝0， ∴（b﹣1）2﹣4a＝0， ∴4a＝（b﹣1）2，即a， ∴方程ax2+（b﹣1）x+1＝0可以化为， 即（b﹣1）2x2+4（b﹣1）x+4＝0， ∴x1＝x2， ∴C（，）， ∵点C在第一象限， ∴1﹣b＞0， ∵2≤[C]≤4， ∴24， ∴12， 解得：﹣1≤b≤0， ∵t＝2b2﹣4a+2020， ∴t＝2b2﹣（b﹣1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018， ∵﹣1≤b≤0， ∴t随b的增大而增大， ∵b＝﹣1时，t＝2018， t＝0时，t＝2019， ∴2018≤t≤2019． 故选：B． 2．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或 【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点， ∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x2， ∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3， 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1， 解得：n＝﹣1； ∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点， 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1， 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（，1）， ∴2﹣n＝1，解得：n， ∴1≤n时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n， 故选：C． 3．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（　　） A．﹣2＜c B．﹣4＜c C．﹣4＜c D．﹣10＜c 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y＝2x上，由﹣2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解． 【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x， 将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4， 将x＝4代入y＝2x得y＝8， 设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图， 联立方程x2﹣x+c＝2x， 当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点， 即9﹣4c＞0， 解得c， 此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点， 把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c， 把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c， ∴， 解得c＞﹣4， ∴﹣4＜c满足题意． 故选：B． 4．（2022秋•汉阳区期中）我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵