专题26.3 反比例函数中的存在性问题专项训练（30道）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题26.3 反比例函数中的存在性问题专项训练（30道） 【人教版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中的存在性问题的理解！ 一．解答题（共30小题） 1．（2022春•张家川县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（x＞0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与x轴相交于N点． （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线AB上是否存在点P，使得S△ONP＝3S△AOB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标； （2）将△AOB的面积转化为S△AON﹣S△BON的面积即可； （3）设P（m，﹣2m+6），根据S△ONP＝3S△AOB，列出m方程进行解答便可． 【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y上， ∴4，解得m＝1， ∴点A的坐标为（1，4）， 又∵点B也在反比例函数y上， ∴n，解得n＝2， ∴点B的坐标为（2，2）， 又∵点A、B在y＝kx+b的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6． （2）直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N， ∴点N的坐标为（3，0）， ∴S△AOB＝S△AON﹣S△BON3×43×2＝3； （3）令y＝0，得y＝﹣2x+6＝0， 解得x＝3， ∴N（3，0）， ∴ON＝3， 设P（m，﹣2m+6）， ∵S△ONP＝3S△AOB， ∴， 解得m＝0或6， ∴P（0，6）或（6，﹣6）． 2．（2022•山西模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点C，D，与反比例函数y2（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（2，﹣2）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）若x轴上存在一点P，使△ABP的面积为6，求点P的坐标． 【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式； （2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为6得到关于a的方程，解之即可． 【解答】解：（1）由题意可得： 点B（2，﹣2）在反比例函数y2（m≠0）的图象上， ∴m＝2×（﹣2）＝﹣4， ∴反比例函数的解析式为y2， 将A（﹣1，n）代入y2，得：n4， ∴A（﹣1，4）， 将A，B代入一次函数解析式中，得， 解得：， ∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+2； （2）∵点P在x轴上， 设点P的坐标为（a，0）， ∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+2，令y＝0，则x＝1， ∴直线AB与x轴交于点（1，0）， 由△ABP的面积为6，可得：（yA﹣yB）•|a﹣1|＝6，即|a﹣1|＝6， 解得：a＝﹣1或a＝3， ∴点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）． 3．（2022春•侯马市期末）如图，直线yx﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线y（m≠0）在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD＝4． （1）求双曲线的解析式； （2）设点Q是双曲线上的一点，且△QOB的面积是△AOB的面积的2倍，求点Q的坐标； （3）在y轴上存在点P，使PA+PC最短，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）把x＝﹣4代入可求出点C的坐标，再代入反比例函数关系式可确定k的值，进而确定反比例函数关系式； （2）根据直线的关系式可求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形AOB的面积，得到三角形BOQ的面积后设点Q的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可； （3）求出点A关于y轴对称的点A′的坐标，求出直线CA′与y轴的交点坐标即可． 【解答】解：（1）CD＝4，即点C的横坐标为﹣4， 当x＝﹣4时，y（﹣4）﹣2＝4， ∴点C（﹣4，4）， 又∵点C（﹣4，4）在反比例函数y的图象上， ∴k＝﹣4×4＝﹣16， ∴反比例函数的关系式为y； （2）∵直线yx﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴点A（，0），点B（0，﹣2）， 即OA，OB＝2， ∴S△AOB2， 设Q（x，）， 由于△QOB的面积是△AOB的面积的2倍， ∴△QOB的面积为2， 即OB×|x|， 解得x， 当x时，y＝﹣166， 当x时，y＝﹣16×（）＝6， ∴点Q（，﹣6）或（，6）； （3）点A（，0）关于y轴的对称点A′（，0）， 设直线CA′的关系式为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴直线CA′的关系式为yx+1， 当x＝0时，y＝1， 即直线yx+1与y的交点坐标为P（0，1）， 此时，点P（0，1）使PA+PC最小． 4．（2022春•惠山区期末）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2的图象相交于A（1，6），B（6，1）两