(普查练习)第14课 导数的应用-2023版高考文科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第14课 导数的应用 普查与练习14 Ⅰ　　　　利用导数研究函数的单调性与极值 1.利用导数研究函数的单调性 a.讨论函数的单调性 (1)(2023改编，12分)已知函数f(x)＝lnx－x2＋2ax＋1. (Ⅰ)若a＝0，求函数f(x)的单调区间； 答案：f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，e) 解：易知函数f(x)的定义域是(0，＋∞). 当a＝0时，f(x)＝x2lnx－x2＋1， 所以f′(x)＝xlnx－x. 令f′(x)＝xlnx－x＝0，则lnx－1＝0，解得x＝e. 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(0，e)时，f′(x)<0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，e).(5分) (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性. 答案：当a≤0时，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增；当0＜a＜e时，f(x)在(0，a)和(e，＋∞)上单调递增，在(a，e)上单调递减；当a＝e时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>e时，f(x)在(0，e)和(a，＋∞)上单调递增，在(e，a)上单调递减 解：f′(x)＝(x－a)lnx－x＋a＝(x－a)(lnx－1).(7分) ①当a≤0时，令f′(x)>0，解得x>e；令f′(x)＜0，解得0<x＜e， 所以f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增.(8分) ②当0＜a＜e时，令f′(x)>0，解得x>e或0<x＜a； 令f′(x)＜0，解得a＜x＜e， 所以f(x)在(0，a)和(e，＋∞)上单调递增，在(a，e)上单调递减.(9分) ③当a＝e时，f′(x)≥0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.(10分) ④当a>e时，令f′(x)>0，解得x>a或0<x＜e； 令f′(x)＜0，解得e＜x＜a， 所以f(x)在(0，e)和(a，＋∞)上单调递增，在(e，a)上单调递减.(11分) 综上，当a≤0时，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增； 当0＜a＜e时，f(x)在(0，a)和(e，＋∞)上单调递增，在(a，e)上单调递减； 当a＝e时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>e时，f(x)在(0，e)和(a，＋∞)上单调递增，在(e，a)上单调递减.(12分) (2020全国Ⅱ，12分)已知函数f(x)＝2lnx＋1. (Ⅰ)若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围； 答案：[－1，＋∞) 解：f(x)≤2x＋c等价于2lnx－2x≤c－1.(1分) 设h(x)＝2lnx－2x(x>0)， 则h′(x)＝－2＝(x>0). 当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ∴h(x)的最大值为h(1)＝－2，(3分) ∵c－1≥f(x)max＝－2，∴c≥－1， 即c的取值范围为[－1，＋∞).(5分) (Ⅱ)设a>0，讨论函数g(x)＝的单调性. 答案：g(x)在(0，a)和(a，＋∞)上单调递减 解：由题意知g(x)＝＝＝，x∈(0，a)∪(a，＋∞). 求导得g′(x)＝＝，x∈(0，a)∪(a，＋∞).(7分) 令φ(x)＝－－2lnx＋2lna＋2(x>0)， 则φ′(x)＝－＝(x>0).(8分) 令φ′(x)>0，解得0<x<a； 令φ′(x)<0，解得x>a， ∴φ(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，(10分) ∴φ(x)≤φ(a)＝－2－2lna＋2lna＋2＝0， ∴g′(x)<0， ∴g(x)在(0，a)和(a，＋∞)上分别单调递减.(12分) b.已知函数的单调性求参数的取值范围 (3)(2023汇编，15分)已知函数f(x)＝x3－ax－1. (Ⅰ)若f(x)在(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围为　[3，＋∞)　； (Ⅱ)若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，则实数a的值为　3　； (Ⅲ)若f(x)在(－1，1)上不单调，则实数a的取值范围为　(0，3)　. (Ⅰ)(法一)由题意， f ′(x)＝3x2－a，由f(x)在(－1，1)上单调递减，得f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a≥3x2恒成立.又因为当x∈(－1，1)时，函数y＝3x2的值域是[0，3)，所以实数a的取值范围是[3，＋∞). (法二)当a≤0时，f ′(x)＝3x2－a≥0，显然没有递减区间，不合题意. 当a＞0时，令f ′(x)＝3x2－a＝0，得x＝±， 易知当x∈时， f(x)单调递减. 若f(x)在(－1，1)上单调递减，则(－1，1)应为的子区间，即≥1，解得a≥3.所以实数a的取值范围是[3，＋∞). (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)的单调