(普查练习)第13课 导数的概念及其运算-2023版高考文科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第13课 导数的概念及其运算 普查与练习13　　　　导数的概念及其运算 1.导数的运算 (1)(2023汇编，10分)求下列函数的导数： ①y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； 答案：y′＝3x2＋12x＋11 解：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.(2分) ②y＝exsinx； 答案：y′＝ex(sinx＋cosx) 解：y′＝(exsinx)′＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx).(4分) ③y＝＋； 答案：y′＝ 解：y＝＋＝＝＝－2，∴y′＝.(6分) ④y＝－sin； 答案：y′＝cosx 解：y＝－sin·＝sinx， ∴y′＝cosx.(8分) ⑤y＝. 答案：y′＝ 解：y′＝＝ ＝.(10分) (2)(2020全国Ⅲ，5分)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝　1　. ∵函数f(x)＝，∴f′(x)＝， ∴f′(1)＝.又∵f′(1)＝， ∴＝，解得a＝1.故答案为1. 2.导数的几何意义及其应用 a.求切线方程 (3)(2019全国Ⅱ，5分)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(　C　) A.x－y－π－1＝0　　　　　　B.2x－y－2π－1＝0 C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝0 由y＝2sinx＋cosx，得y′＝2cosx－sinx，∴y′|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，∴曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C. (4)(2021全国Ⅱ节选，6分)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标. 答案：(1，a＋1)和(－1，－1－a) 解： 设切点坐标为(x0，f(x0))，由题意可得f(x0)＝x－x＋ax0＋1，f′(x0)＝3x－2x0＋a， 则切线方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0). 因为切线过坐标原点， 所以0－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(0－x0)，(2分) 整理可得2x－x－1＝0，即(x0－1)(2x＋x0＋1)＝0， 解得x0＝1， 则f(x0)＝f(1)＝1－1＋a＋1＝a＋1， f′(x0)＝f′(1)＝1＋a， 所以切线方程为y＝(a＋1)x.(4分) 将切线方程与y＝x3－x2＋ax＋1联立，得x3－x2＋ax＋1＝(a＋1)x，化简得x3－x2－x＋1＝0， 即(x－1)2(x＋1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1. 易得f(－1)＝－1－a， 所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，a＋1)和(－1，－1－a).(6分) 【变式训练】 (2021广东佛山模拟，5分)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋x，则曲线f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为　6x－2y－3＝0　. 曲线f(x)的切线斜率最小，即函数f(x)的导数最小. 函数f(x)＝lnx＋x2＋x(x＞0)的导数为f′(x)＝＋x＋1(x＞0). ∵x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立， ∴f′(x)的最小值为f′(1)＝3. 又∵当x＝1时，f(1)＝， ∴曲线f(x)所有切线中斜率最小的切线方程为y－＝3(x－1)，即6x－2y－3＝0. b.求切点坐标 (5)(2019江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是　(e，1)　. 设A(x0，lnx0)(x0>0)，由y＝lnx，得y′＝(x>0)， ∴y′|x＝x0＝，则该曲线在点A处的切线方程为y－lnx0＝(x－x0). ∵切线经过点(－e，－1)， ∴－1－lnx0＝－－1，即lnx0＝. 构造函数g(x)＝lnx－，显然g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(e)＝0， ∴g(x0)＝0有唯一实数解x0＝e， ∴A点坐标为(e，1). c.求参数的值 (6)(2023汇编，20分)已知直线l与曲线y＝f(x)相切. ①若直线l：y＝－2x＋，f(x)＝x3－ax，则a＝　3　； ②若直线l：y＝a1＋x，f(x)＝x3＋x＋1，则a1＝　1　； ③若直线l：y＝4x＋3，f(x)＝a2x2＋2bx，且切点的横坐标为1，则b－a2＝　8　； ④若直线l：y＝2x＋c，f(x)＝x＋，且切点的横坐标为1，则a3＋c＝　－3　Ｗ. ①设直线l与曲线y＝f(x)的切点的横坐标为m，则－2m＋＝m3－am. 对f(x)求导，得f′(x)＝x2－a，∴切线的斜率为m2－a，∴m2－a