第03讲：圆锥曲线中的面积问题（二）-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第二讲：面积问题（二） 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解面积； 拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 1、面积范围 首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 2、面积比值 通过两个三角形面积的作比，寻找等底或等高情况，将面积问题转化为底边长度或高度的比值，进行坐标或向量进行求解. 【考点剖析】 考点一：三角形面积最值 例1．已知椭圆与的正半轴交于点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点与椭圆交于两点，求面积的最大值并求此时的直线方程. 变式训练1：已知椭圆与抛物线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值. 例2．已知点是抛物线上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点． (1)当的坐标为时，求点的坐标； (2)已知点，若为线段的中点，求面积的最大值． 变式训练2：已知椭圆的中心是坐标原点O，左右焦点分别为，，设P是椭圆C上一点满足轴，，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值. （参考公式：已知的三边分别是，且内切圆的半径是 ，则的面积）. 例3．已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围. 变式训练3：已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点） 考点二：四边形面积最值 例1．已知椭圆的一个焦点为，经过点，过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点. (1)求椭圆C的方程； (2)四边形AMBN面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由. 变式训练1：已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值． 例2．已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值． 变式训练2：已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于､和､四点，求四边形面积的最小值. 考点三：面积比值（求解） 例1．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，为坐标原点，，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，点，．若分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别为，，求的值． 变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，，实轴长为，且斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点为. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的左、右顶点分别为，，点P，Q为椭圆上异于，的两点，且以P，Q为直径的圆过点，设，的面积分别为，，计算的值. 考点四：已知面积比值（求参） 例1．已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5. (1)求椭圆C的方程： (2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由. 变式训练1：已知椭圆的焦距为4，点在G上. (1)求椭圆G的方程； (2)过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程. 变式训练2：已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线； (2)设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积． 考点五：面积比值（证明） 例1．在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点