专题15 角-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题15 角 一、角度计算中的分类讨论 【典例】已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　） A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60° 解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时， ∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB， ∴∠AOC＝80°， ∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM∠AOC＝40°， ∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°； 如图2，当∠AOB在∠AOC外部时， ∠DOM＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°； 故选：C． 【巩固】水平直线上顺次三点A、O、B，以O点为顶点在直线上方作∠COD＝40°，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOD，求∠MON的度数． 二、钟表中涉及到的角度问题 【典例】（1）求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角； （2）在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针何时成直角？ 【解答】解：（1）如图，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°， 上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角是4.5个等份，因而时针和分针的夹角是4.5×30＝135°； （2）时针一小时即60分钟转30度，一分钟转动0.5°，分针一小时转360度，一分钟转6度， 可以设从上午10时30分再经过x分钟，时针和分针成直角， 列方程得到：135﹣6x+0.5x＝90， 解得x＝8，即10时38分时，时针和分针成直角； 11时时针与分针的夹角是30度，设再过y分钟，时针与分针的夹角是直角， 根据题意得到：30+6y﹣0.5y＝90，解得y＝10， 则当在11时10分时，时针和分针成直角． 【巩固】（1）在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒，△OAB的面积第一次达到最大？ （2）钟面上从2点到4点有几次时针与分针成60°的角？分别是几点几分？ 三、角度的动态类问题 【典例】如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°．以点O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合，射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转，设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间） （1）当射线OP平分∠AOC时，求射线OP旋转的时间． （2）当射线OQ的转速为4°/s，t＝21s时，求∠POQ的值． （3）若射线OQ的转速为3°/s， ①当射线OQ和射线OP重合时，求∠COQ的值． ②当∠POQ＝70°时，求射线OP旋转的时间． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+10°＝70°， ∴当射线OP平分∠AOC时，∠AOP＝∠POC＝35°， ∴此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP＝20°+35°＝55°， ∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s， ∴旋转的时间：55÷1＝55s． （2）∵射线OQ的转速为4°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转， ∴t＝21s时，∠COQ＝21×4＝84°， ∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s， ∴t＝21s时，∠FOP＝21×1＝21°， 如图， ∴∠FOQ＝∠FOA+∠AOB+∠BOC﹣∠COQ＝6°． ∴∠POQ＝∠FOP﹣∠FOQ＝15°； （3）①当射线OQ和射线OP重合时，t（s）； ∴∠COQ3； ②设射线OP旋转的时间为ts， 当OP和OQ在未重合之前，90﹣t﹣3t＝70，t＝5； 当OP和OQ在重合之后，3t+t﹣70＝90，解得t＝40； ∵OQ按题目条件射线OQ旋转至与射线OF重合时停止， ∴t≤90÷3，即t≤30， ∴t＝40时（t≤30）早已停止运动，但OP未停止，因此第二种情况t＝70． 故当∠POQ＝70°时，射线OP旋转的时间为5秒或70秒． 【巩固】已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°． （1）如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数； （2）点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．当∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 巩固练习 1．如图，把一长方形纸片