精品解析：2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测数学试题

2023届高三第一次质量监测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C D. 4. 在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ） A. B. C. D. 5. 通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 设，则（ ） A. B. C D. 8. 如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 在上的值域为 11. 对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①，；②，，，则称函数为“函数”.下列结论正确的是（ ） A. 若为“函数”，则其图象恒过定点 B. 函数在上是“函数” C. 函数在上是“函数”（表示不大于的最大整数） D. 若为“函数”，则一定是上的增函数 12. 已知分别是函数和的零点，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，则___________. 14. 已知的面积为，则的中线长的一个值为___________. 15. 某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过天___________.（参考数据：） 16. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列满足，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列通项公式. 18. 在中，角对边分别为. （1）若，求； （2）若，求证：. 19. 如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面菱形，，，. （1）若为的中点，求证：； （2）求二面角的正弦值. 20. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为. （1）在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列； （2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率. 21. 已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足. （1）求的方程； （2）过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值. 22. 设函数，. （1）若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）证明：①当时，； ②，.（是自然对数的底数，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届高三第一次质量监测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先通过求解分式不等式化简集合，然后利用指数函数的单调性化简集合，最后利用集合间的交运算即可求解. 【详解】∵ ∴ 由指数函数的单调性可知，， 从而， 故. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 从充分性和必要性两方面进行讨论即可. 【详解】充分性：当，时充分性不成立