3.3.2 抛物线的几何性质-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

3.3.2 抛物线的几何性质 一、四种抛物线的几何性质 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 二、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1、抛物线，. 2、抛物线，. 3、抛物线，. 4、抛物线，. 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 三、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 四、直线与抛物线相交弦长问题 1、一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）. （2）, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得.故，即. （3）直线的方程为. 2、焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 题型一 由抛物线解析式研究其几何性质 【例1】（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【解析】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上， 焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．故选：AC 【变式1-1】下列命题中正确的是（ ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 【答案】C 【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误； 抛物线 的准线方程为，故B错误； 抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误；故选：C. 【变式1-2】下列抛物线中，开口最小的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最大：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 【变式1-3】方程与在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】变形为，此表示焦点在x轴的抛物线，排除D； 当时，表示开口向右的抛物线， 此时表示双曲线，排除C; 当时，表示开口向左的抛物线， 此时表示椭圆或圆或不表示任何图形，排除B;选A 题型二 由抛物线的几何性质求标准方程 【例2】顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为______． 【答案】 【解析】由抛物线的焦点在x轴上，设其方程为， 因为通径长为6，所以，所以， 所以所求抛物线方程为． 故答案为：． 【变式2-1】抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意设出抛物线的方程， 因为点在抛物线上，所以有，解得， 所以抛物线的方程是：，故选：B. 【变式2-2】抛物线顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上．则抛物线方程为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由顶点在原点、对称轴为轴可知，抛物线方程为． 在中，令，得焦点为，故． 故答案为D 【变式2-3】求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点为； （2）准线方程是； （3）对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】（1）由题意设抛物线的方程为 由焦点为，则，则 所以抛物线的方程为： （2）由题意设抛物线的方