3.3.1 抛物线的标准方程-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

3.3.1 抛物线的标准方程 一、抛物线的定义 1、定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹. 2、焦点：定点F叫作抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫作抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 二、抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 开口方向 向右 向左 向上 向下 三、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 四、求抛物线标准方程的方法 1、直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； 2、待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：（1）已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； （2）已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 题型一 抛物线定义的理解 【例1】抛物线的焦点到其准线的距离是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 所以焦点到准线的距离；故选：A 【变式1-1】已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】由，可得其焦点，准线方程为， 因为点到该抛物线焦点的距离为2， 所以点到抛物线准线的距离为， 则，解得，故选：C. 【变式1-2】已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 抛物线的准线为， 所以，∴，故选：C. 【变式1-3】抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题意得：，准线方程为，设点P的横坐标为，， 由抛物线的定义可知： 则，解得：或（舍去）， 从而点P的横坐标为1故选：A 【变式1-4】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】由抛物线的定义可知，为等边三角形， 设准线l与x轴交于点H，则， ，所以.故选：D 题型二 求抛物线的标准方程 【例2】若抛物线的焦点是，准线方程为，则抛物线的标准方程是______． 【答案】 【解析】由于抛物线的焦点是，准线方程为， 所以抛物线开口向右，， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为： 【变式2-1】过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线方程为；故选：C 【变式2-2】若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ） A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x 【答案】D 【解析】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4， ∴，解得，∴抛物线的标准方程为.故选：D. 【变式2-3】以双曲线的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为______. 【答案】 【解析】由双曲线方程可知，，则， 双曲线的左焦点为， 则抛物线方程设为，由条件可知， 所以抛物线方程为. 故答案为： 【变式2-4】求焦点在直线上的抛物线的标准方程． 【答案】或 【解析】因为直线与轴交点为，与轴交点为， 所以当抛物线焦点为时，抛物线方程为； 当抛物线焦点为时，抛物线方程为. 故所求方程为或. 题型三 利用抛物线定义解决轨迹问题 【例3】已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】设直线，则动点到点的距离为， 动点到直线的距离为， 又因为， 所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 其轨