第1章 1.5 1.5.1 平面上两点间的距离（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修1【精讲精练】苏教版

[基础巩固] 1．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　) A．3x－y－8＝0　　　　 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0 解析　设P(x，y)，则＝， 即3x＋y＋4＝0. 答案　B 2．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是(　　) A．x2－y2＝1 B．x2＋y2＝0 C.＝1 D.＝0 解析　由两点间的距离公式得＝1. 答案　C 3．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋ 解析　由题意知AB＝＝3，AC＝＝3， BC＝＝3， 故△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝6＋3. 答案　C 4．若三角形的顶点分别为A(2，－3)，B(－2，－5)，C(6,4)，则AB边上的中线长为________． 解析　∵AB的中点坐标为(0，－4)，∴AB边上的中线长为＝10. 答案　10 5．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，因为线段AB的中点M的坐标是，所以＝，＝6，则AB的长为________． 解析　设A(a,0)，B(0，b)，因为线段AB的中点M的坐标为，所以＝，＝6，则a＝5，b＝12，即A(5,0)，B(0,12)， 所以AB＝＝13. 答案　13 6．已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P使得PA＝PB，并求出PA的值． 解析　设P(x,0)， 则PA＝＝， PB＝＝， 由PA＝PB，得＝， 解得x＝－， 所以P，且PA＝. [能力提升] 7．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是(　　) A．－　　 B．－　　　 C.　　　 D. 解析　AB＝＝＝， ∴当a＝时，AB取得最小值． 答案　C 8．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则PQ的最小值为________． 解析　易知A(0,1)，B(1,0)，所以直线AB：y＝1－x. 设P(x0，y0)，又y0＝1－x0，所以PQ＝＝＝，当x0＝时，PQ取得最小值.所以PQ的最小值为. 答案　 9．已知A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为________． 解析　由kAB＝，kCD＝，kBC＝－2，kAD＝－2得AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，ABCD为矩形， 又AB＝＝. BC＝＝，所以AB＝BC，故ABCD为正方形． 答案　正方形 10．已知三角形的顶点为A，B，C. (1)求直线AC的方程； (2)从①，②这两个问题中选择一个作答． ①求点B关于直线AC的对称点D的坐标； ②若直线l过点B且与直线AC交于点E，BE＝3，求直线l的方程． 解析　(1)因为直线AC的斜率为kAC＝， 所以直线AC的方程为y－3＝， 即直线AC的方程为x－2y＋4＝0. (2)问题①： 设D的坐标为， 则 解得∴点D的坐标是； 问题②：设E的坐标为， ∵BE＝3， ∴＝3， 解得t＝0或t＝－， ∴E的坐标为或， ∴直线l的方程为x＝0或3x＋4y＋4＝0. [探索创新] 11．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB＝AC＝13 km，BC＝10 km，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处(建立坐标系如图)． (1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？ (2)若希望点P到三镇的最远距离最小，点P应位于何处？ 解析　(1)设P的坐标为(0，y)，则P至三镇距离的平方和为f(y)＝2(25＋y2)＋(12－y)2＝3(y－4)2＋146，所以，当y＝4时，函数f(y)取得最小值，点P的坐标是(0,4)． (2)设P至三镇的最远距离为 g(y)＝ 由≥|12－y|，得y≥，记y*＝， 于是g(y)＝ 因为g(y)＝在[y*，＋∞)上是增函数， 而g(y)＝|12－y|在(－∞，y*]上是减函数， 所以y＝y*时，函数g(y)取得最小值． 所以点P的坐标是. 学科网（北京）股份有限公司 $