考向19 等差数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）

考向19 等差数列及其前n项和 1.（2022年乙卷文科第13题）记为等差数列的前项和.若，则公差　 　． 【答案】2 【解析】因为，所以，即，所以. 2.（2022年北京卷第6题） 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 3.（2022新课标1卷第17题） 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求得通项公式； （2）证明：． 【解析】（1），所以， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以． 当时，， 所以，即（）； 累积法可得：（），又满足该式， 所以得通项公式为． （2） ． 4.（2022新课标2卷第17题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且 （1）证明：； （2）求集合中元素的个数． 【答案】（1）见解析；（2）9． 【解析】（1）设等差数列公差为 由，知，故 由，知， 故；故，整理得，得证． （2）由（1）知，由知： 即，即， 因为，故，解得 故集合中元素的个数为9个． 5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记为数列的前项和.已知. （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值. 【答案】（1）略；（2） 【解析】（1）由于，变形为，记为①式， 又，记为②式， ①-②可得 即，所以是等差数列； （2）由题意可知，即，解得，所以 ，其中， 则的最小值为. 6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列的各项为正数，记为的前项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立． ①数列为等差数列；②数列为等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】见解析． 【解析】一、选择条件①③ 已知为等差数列，，设公差为，则，即 因为，则 所以数列为等差数列 二、选择条件①② 已知为等差数列，数列为等差数列，设公差为 则， 若数列为等差数列，则，所以 三、选择条件②③ 已知数列为等差数列，设公差为 则，即 则 则， 所以为等差数列 7.（2021年全国一卷第19题）记为数列的前项和， 为数列的前项积.已知. （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】（1）当时，，易得. 当时，，代入消去得，，化简得， 是以为首项，为公差的等差数列. （2）易得.由（1）可得，由可得. 当时，，显然不满足该式； . 8.（2021年新高考2卷第17题）记是公差不为0的等差数列的前项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意知：即： 故所以数列的通项公式为． （2）由（1）知 又即 1.等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．　 2.等差数列的判定与证明方法 （1）定义法：如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{an}为等差数列； （2）等差中项法：如果一个数列{an}对任意的正整数n都满足2an+1=an+an+2，那么可以判断{an}为等差数列； （3）通项公式法：如果一个数列{an}的通项公式满足an=pn+q（p，q为常数）的形式，那么可以得出{an}是首项为p+q，公差为p的等差数列; （4）前n项和公式法:如果一个数列{an}的前n项和公式满足Sn=An2+Bn（A，B为常数）的形式，那么可以得出数列{an}是首项为A+B，公差为2A的等差数列. 1．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0. 2．两个常用结论 (1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①