易错点05 函数概念及其性质-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题05 函数概念及其性质 函数概念及其性质 忽视函数的定义域致错 分段函数的单调性忽视高端点值致错 使用换元法忽视新变量范围致错 搞不清复合函数自变量致错 忽视零点存在性定理使用范围致错 易错知识 1．使用换元法求解析式、求函数值域时，容易忽略引入新变量的取值范围致错； 2．求函数值域、求函数的单调区间、判断函数的奇偶性时，容易忽略函数的定义域致错； 3．研究分段函数的单调性时，容易忽略端点值的大小致错； 4．求定义域中有零的奇函数解析式时，容易忽略自变量0的函数值； 5. 处理函数的单调性问题时，容易忽略混淆“单调区间”和“在区间上单调”而致错； 6. 有关复合函数的问题，弄不清自变量而致错； 易错分析 一、求函数的单调区间忽视定义域致错 1．函数y＝的单调递减区间为(　 ) A. B. C．[0，＋∞) D．(－∞，－3] 【错解】选A　令t＝x2＋3x，y＝是由y＝与t＝x2＋3x复合而成，又外层函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，内层函数t＝x2＋3x在 上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知，函数y＝的单调递减区间为 ． 【错因】没有考虑函数y＝的定义域， 【正解】选D　由题意，x2＋3x≥0，可得x≤－3或x≥0，函数y＝的定义域为 (－∞，－3]∪[0，＋∞)．令t＝x2＋3x，则外层函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，内层函数 t＝x2＋3x在(－∞，－3]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以，函数y＝的单调递减区间为(－∞，－3]． 二、判断函数的奇偶性忽视定义域致错 2．判断函数f(x)＝的奇偶性： 【错解】 ，所以函数f(x)＝为偶函数。 【错因】没有考虑函数f(x)＝的定义域， 【正解】因为f(x)有意义，则满足≥0，所以－1<x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称， 所以f(x)为非奇非偶函数． 三、有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错 3．设函数f(x)＝ 则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为__________． 【错解】由已知及f(x)≥1可得．(x＋1)2≥1或4－≥1， 由(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，由4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10. 综上所述，x∈[1,10]． 【错因】没有考虑函数f(x)＝的定义域， 【正解】因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解． 当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1. 当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10. 综上所述，x∈(－∞，－2]∪[0,10]． 四、有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错 4．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是(　 ) A．[－4,1) B．(1,4] C．(1,2] D．C．（1，＋∞) 【错解】∵y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，∴a＋1<2a，解得1<a，选D. 【错因】没有考虑函数y＝f(x)的定义域， 【正解】∵函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，∴－4≤a＋1<2a≤4， 解得1<a≤2，故选C. 五、有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错 5. 已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________． 【错解】要使f(x)在R上单调递增，必须满足：f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(x)在(1，＋∞)上单调递增；又x≥1时，，作出大致图象如图所示．结合图象可知a≤1,故实数a的取值范围为(－∞，1]. 【错因】没有考虑端点值2与的大小关系， 【正解】要使f(x)在R上单调递增，必须满足三条：第一条：f(x)在(－∞，1)上单调递增； 第二条：f(x)在(1，＋∞)上单调递增；第三条：(x2－2ax)|x＝1≥(x＋1)|x＝1. 作出大致图象如图所示．结合图象可知解得a≤－. 故实数a的取值范围为. 六、有关奇函数的解析式忽视自变量0的函数值致错 6．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为_______． 【错解】设x<0，则－x>0，由题意可知f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1， 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1. 综上所述， 【错因】没有考虑自变量0的函数值， 【正解】设x<0，则－x>0，由题意可知f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1， 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1，且f(0)＝0. 综上所述，f(x)＝ 七、使用换元法忽视新变量的取值范围致错 7．若f(2x)