易错点07 导数及其应用-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题07 导数及其应用 导数及其应用 混淆在某点处的切线与过某点的切线致错 已知单调性求参数取值范围忽视等号致错 混淆极值与最值得概念致错 错用复合函数求导法则致错 由函数的极值求参数时忽略验证致错 易错知识 1．混淆函数的单调区间与函数在区间上单调 2．求参数时忽略“＝”是否取到 3．错用复合函数的求导法则 4. 混淆在某点处的切线与过某点的切线 5. 由函数的极值求参数忽略验证 6.研究函数的性质、极值时，忽略定义域致错， 易错分析 一、忽视函数的定义域致错 1．函数y＝－＋3ln x的单调递增区间为________． 【错解】由已知得y′＝＋＝，令>0，解得x>－，故该函数的增区间为. 【错因】没考虑函数y＝－＋3ln x的定义域， 【正解】函数y＝－＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝＋＝，令>0， 解得x>－，故函数的增区间为(0，＋∞). 二、复合函数求导运算不对致错 2．设函数f(x)＝cos(x＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导数)是偶函数，则φ等于(　 ) A．－ B．－ C．－ D． 【错解一】选D　由题意得f′(x)＝sin(x＋φ)，则g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)+sin(x＋φ)＝2cos（x＋φ－），因为函数g(x)为偶函数，所以φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝. 【错解二】选C　由题意得f′(x)＝－sin(x＋φ)，则g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝cos（x＋φ＋），因为函数g(x)为偶函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－. 【错因】f(x)的导函数求错，f′(x)=－sin(x＋φ)， 【正解】选A　由题意得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cosx＋φ＋， 因为函数g(x)为偶函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－. 三、已知单调性求参数取值范围忽视等号致错 3．若函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D．(－∞，2) 【错解】选B　由f(x)＝－x3＋ax2＋4x，得f′(x)＝－3x2＋2ax＋4，若f(x)在区间(0,2)上单调递增，则－3x2＋2ax＋4>0在(0,2)上恒成立，即a>－在(0,2)上恒成立．令g(x)＝－，x∈(0,2)，则g′(x)＝＋>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，故g(x)<－＝2，故a>2，故实数a的取值范围为(2，＋∞)． 【错因】若f(x)在区间(0,2)上单调递增，应令f′(x)≥0在(0,2)上恒成立． 【正解】选A　由f(x)＝－x3＋ax2＋4x，得f′(x)＝－3x2＋2ax＋4，若f(x)在区间(0,2)上单调递增，则－3x2＋2ax＋4≥0在(0,2)上恒成立，即a≥－在(0,2)上恒成立．令g(x)＝－，x∈(0,2)，则g′(x)＝＋>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，故g(x)<－＝2，故a≥2，故实数a的取值范围为[2，＋∞)． 四、混淆在某点处的切线与过某点的切线致错 4．过点(0，－1)且与曲线y＝x－1＋相切的直线方程为________． 【错解】因为y′＝1－，所以y′＝1－，所以过切点(0，－1)的切线方程为 y－（－1）＝0(x－0)．即y＝－1，所以所求的切线方程为y＋1＝0. 【错因】混淆在某点处的切线与过某点的切线，本题是求过点(0，－1)的切线方程， 【正解】设切点为(x0，y0)，因为y′＝1－，所以y′＝1－，所以过切点(x0，y0)的切线方程为y－y0＝(x－x0)．因为切线过点(0，－1)，所以－1－y0＝ (0－x0)，即 －1－x0＋1－＝ (－x0)，解得x0＝－1，故所求的切线方程为y－(－1)＝(1－e)(x－0)，即切线方程为(e－1)x＋y＋1＝0. 五、由函数的极值求参数取值时没有验证致错 5．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝(　 ) A．4 B．11 C．4或11 D．3或9 【错解】选C　因为f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意得 即解得或故m＋n＝4或11. 【错因】没有把求出m，n的值代会检验， 【正解】选B　因为f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意得 即解得或 当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，不合题意，舍掉； 当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，令f′(x)>