易错点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数 忽视对底数的讨论致错 对数式中忽视真数大于零致错 混淆单调区间和在区间上单调致错 使用换元法忽视新变量范围致错 忽视对高次项系数的讨论致错 易错知识 1．对数函数、指数函数中容易忽略底数的取值范围； 2．在对数式中，要注意真数是大于零的； 3．函数的单调区间与在区间上单调是两个不同的概念； 4.对于最高项系数含有参数的函数，要注意对参数的讨论； 5. 易错分析 一、对数函数中忽视对底数的讨论致错 1．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________． 【错解】已知f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立， 知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<.故实数a的取值范围是. 【错因】没有对底数a进行分情况讨论， 【正解】当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立， 知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<. 当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝ loga(8－a)>1，且8－2a>0.解得a>4，且a<4，故不存在． 综上可知，实数a的取值范围是. 二、忽视对数式中真数大于零致错 2．函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______． 【错解】令g(x)＝x2＋2x－3，则函数g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(－1，＋∞)． 【错因】没有保证对数式中真数大于零， 【正解】由题意，函数y＝log5(x2＋2x－3)满足x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1，即函数 y＝log5(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令g(x)＝x2＋2x－3，则函数g(x) 在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数 y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(1，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　 ) A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2] C.∪[2，＋∞) D．∪(1,2] 【错解】选A　当0<a<1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递减且u>0恒成立，所以，解得0<a≤； 当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，所以，解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)． 【错因】没有保证对数式中真数大于零， 【正解】选C　当0<a<1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递减且u>0恒成立，所以解得≤a≤；当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，所以解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)． 三、忽视高次项系数的讨论致错 4．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为(　 ) A．－ B．0 C. D．0或－ 【错解】选A　若f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则方程ax2－x－1=0有且仅有一个根，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－. 【错因】没有对二次项系数a分情况讨论， 【正解】选D　若f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则方程ax2－x－1=0有且仅有一个根，当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1. 当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上有a＝0或－. 5．若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C. D． 【错解】选C　函数f(x)的对称轴为直线x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.故选C. 【错因】没有对二次项系数a分情况讨论， 【正解】选D　当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.综上所述，得－≤a≤0.故选D. 四、指数函数中忽视对底数的讨论致错 6．若函数f(x)＝a (a>0且a≠1)在区间(