考向18 平面向量的数量积及应用举例（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）

考向18 平面向量的数量积及应用举例 1．（2022甲卷理第13题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则　 　． 【答案】 【解析】． 2.（2022甲卷文科第13题）已知向量，，若，则________． 【答案】 【解析】由，得，解得． 3.（2022乙卷理科第3题）已知向量满足，，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，得，代入，，有，故. 4.（2022乙卷文科第3题）3．已知向量,，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，则，选项D正确． （2022年新高考2卷第4题）已知，，，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知有， ，故，解得. 5.（2022北京卷第10题）10.在中，为所在平面内的动点，且=1，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】建立如图所示坐标系，由题易知，设 所以选D. 【方法2】注意：，且 其中，. 6.（2021新高考1卷第10题）10．已知为坐标原点，点，，，，则 A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A：，，A对； 因为，，所以B错； 因为， ，，所以C对； 而， ，所以D错． 故答案为AC． 1.计算向量数量积的三个角度 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)． (2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解． (3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．　 2.求向量夹角问题的方法 (1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系． (2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝ .　 3.求向量的模或其范围的方法 (1)定义法：|a|＝＝，|a±b|＝＝. (2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝. (3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解． 1．求平面向量的模的公式 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝； (2)|a±b|＝＝； (3)若a＝(x，y)，则|a|＝. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别． 3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 1.已知向量a，b的夹角为，若c＝，d＝，则c·d＝(　　) A.　　　 B． 　C.　 D． 2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为(　　) A. B．－ C．－ D．－ 3．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a，c的数量积为(　　) A．0 B．－2a2 C．2a2 D．－a2 4.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝(　　) A. B． C. D． 5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|a＋2b|＝(　　) A．2 B．2 C. D． 6．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　) A．－　　 B．－ C. D． 7.(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是(　　) A.在方向上的投影长为－ B.·＝· C.在方向上的投影长为 D.·＝· 8．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是(　　) A.－＝ B.＋＋＝0 C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形 D．若·>0，则△ABC为锐角三角形 9.如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝____． 10．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________． 11.已知向量与的夹角为120°，且