专题6-1 数列递推与通项公式22种归类-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题6-1 数列递推与通项公式22种归类 目录 一、热点题型归纳 【题型一】归纳法求通项 2 【题型二】等差等比定义型 4 【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型 6 【题型四】累加法拔高：换元累加型 7 【题型五】累加法拔高：构造 8 【题型六】累积法 9 【题型七】前n项和型 11 【题型八】二阶等比 12 【题型九】二阶等差数列 13 【题型十】sn与an型：消sn型 14 【题型十一】sn与an型：消an型 15 【题型十二】分式倒数递推 16 【题型十三】新数列前n项和型 18 【题型十四】高次幂取对数型 19 【题型十五】二阶含n等比数列型 20 【题型十六】二阶含n等差数列型 21 【题型十七】因式分解型 22 【题型十八】三阶递推 23 【题型十九】前n项积求通项 24 【题型二十】函数型递推 25 【题型二十一】周期数列 27 【题型二十二】奇偶讨论型 28 二、真题再现 29 三、模拟检测 34 综述： 数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。 【题型一】归纳法求通项 【典例分析】 （2021·全国·高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. （1）            __________       1        6             11                   16              ( ) （2）             __________      1        4          7            10           ( ) （3）             __________          3            8             15              24              ( ) 【答案】          21          13          35 【分析】结合图中点的规律即可写出一个通项公式以及横线处所需填的数值. 【详解】（1）设第个图形的点数为，第个图形有5个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算5次，则，； （2）设第个图形的点数为，第个图形有3个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算3次，则，； （3）设第个图形的点数为，由图可知，第个图形横方向上有个点，竖方向上有个点，则，. 2.（2021·江苏·高三专题练习）数列的一个通项公式为________. 【答案】 【分析】根据数列各项所满足的规律可写出结果. 【详解】，，，， 一个通项公式为：.故答案为：. 【提分秘籍】 基本规律 先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明. 一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。 【变式演练】 1.（2021·全国·高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式__________． 【答案】 【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5，可得求解。 【详解】第一图点数是1；第二图点数 ;第三图是 ；第四图是 则第个图点数 故答案为： 2.（2018·全国·高三课时练习）若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：把分别代入A，B，C，D四个选项，A，B，C均成立．在中，，，，故D不成立，故选D． 3.（2018·上海市杨浦高级中学高三期末）已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法逐项排除可得出结果. 【详解】对于A选项，，不合乎题意； 对于B选项，，不合乎题意； 对于C选项，，不合乎题意； 对于D选项，当为奇数时，，此时， 当为偶数时，，此时，合乎题意. 故选：D. 【题型二】等差等比定义型 【典例分析】 （2022·全国·高三课时练习）在数列中，，，则数列的通项公式为________． 【答案】 【分析】根据给定条件可得数列是等差数列，求出其通项即可计算作答. 【详解】由得：，而， 于是得数列是以为首项，为公差的等差数列， 则有， 所以数列的通项公式为：. 故答案为： 【提分秘籍】 基本规律 等差数列判定： ①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值； ②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常