3.1 椭圆-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

3.1 椭圆 3.1 椭圆 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1　椭圆的定义 3 知识点2　椭圆的标准方程 5 知识点3　椭圆的简单几何性质 8 知识点4　离心率 10 知识点5　点与椭圆、直线与椭圆的位置关系 12 二、典型题型 12 题型1 焦点三角形 14 题型2 轨迹问题——椭圆 17 三、难点题型 17 题型1 弦长和中点弦问题 19 题型2 椭圆的离心率 22 题型3 椭圆的应用 24 四、活学活用培优训练 34 一．基础知识点 知识点1 椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 例1 椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由椭圆的定义结合已知得，进而求出m即可. 【详解】 在椭圆中，，，.易知. 又，所以为等边三角形，即，所以，即. 故选：C. 例2 （多选题）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹不存在 B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 【答案】AC 【分析】根据两点间的距离与到两点间距离和满足的条件，结合椭圆的定义逐个选项分析即可. 【详解】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确； 对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确； 对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 故选：AC 例3 若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程． 【答案】动点的轨迹是椭圆，其标准方程为 【分析】根据题意，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，故，由此求得椭圆的标准方程. 【详解】由于点满足，即点到两个定点，的距离之和等于常数， 由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，故， 故椭圆的标准方程为. 知识点2 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 例1 已知椭圆的左、右焦点分