第4章 《数列》中的不等式问题-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

第4章 《数列》中的不等式问题 一、典型题型 1 题型1 数列不等式恒成立问题 3 题型2 数列不等式能成立（有解）问题 7 一．典型例题 题型1 数列不等式恒成立问题 反思领悟： 例1（多选题） 已知数列满足，，前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据首项判断A，由递推关系式可推出数列为递减数列，据此放缩后可判断D，再由放缩可得，据此可判断BC. 【详解】由知，A错； ∵，，∴，，∴， 时，； 时，，D对； ，∴， ∴，∴，∴，∴； ，∴， ∴，∴，∴ 时，，，B对． ，C对． 故选：BCD 例2 公差不为0的等差数列中，前n项和为，若，且，，成等比数列，数列的前n项和为，若对任意，均成立，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【分析】设公差为，运用等比中项和等差数列的求和公式,解方程可得，进而得到的通项公式和求和公式，然后可得，利用裂项相消法求出，再结合题意即可求解 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以即， 由解得，所以，， 所以， ， 因为对任意，均成立，所以， 故实数t的取值范围是， 故答案为： 例3 已知为数列的前项和，，为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系求解数列的通项公式即可； （2）由得，按照列项求和法，再根据含参不等式求解正实数的取值范围即可. 【详解】（1）解：由题意，对任意，有① 当时，，可得，，所以 当时，② ①-②得： 所以，即 所以，对任意，数列是以1为首项，以2为公比的等比数列 所以 （2）解：因为 所以 所以 可以看出，随着的增大而增大，所以，且对任意， 所以恒成立，有， 所以，所以 题型2 数列不等式能成立（有解）问题 反思领悟： 例1（多选题） 已知正项数列，对任意的正整数m、n都有，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项，可以通过令，从而得到矛盾，对于D，可通过特例判断其有可能成立. 【详解】对于A，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去； 对于C，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去； 对于B，可取，则， 所以，即， 故累加后可得，整理得到， 时，也符合该式，从而. 此时 ， 故成立， 若成立，