第21章 专题训练(三) 根的判别式的常见应用类型（作业课件）-【四清导航】2021-2022学年九年级数学上册（人教版）河南

第二十一章　一元二次方程 人教版 专题训练(三)　根的判别式的常见应用类型 九年级上册 数学 A D 3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 解：(1)证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中， Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0， ∴方程总有两个实数根 (2)∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0， ∴x1＝2，x2＝k＋1.∵方程有一根小于1， ∴k＋1＜1，解得k＜0，∴k的取值范围为k＜0 4．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0. (1)当方程有一个根为－1时，求k的值及另一个根； (2)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围； (3)若方程有两个实数根x1，x2且满足x12＋x22＝5，求k的值． 解：(1)把x＝－1代入一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0， 得(－1)2－(2k＋1)＋k2＋1＝0， 整理得k2－2k＋1＝0，解得k＝1，即原方程为x2＋3x＋2＝0， ∴x1·x2＝2， ∵x1＝－1，∴x2＝－2，即k的值为1，另一个根为－2 5．(铜仁市中考)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于( ) A．7 B．7或6 C．6或－7 D．6 B 6．(新蔡县期中)已知△ABC的三边长为a，b，c且关于x的方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状并加以说明． 解：△ABC是直角三角形．理由如下： 方程整理得(c－a)x2＋2bx＋(c＋a)＝0， 由方程有两个相等的实数根知Δ＝4b2－4(c＋a)(c－a)＝4(b2－c2＋a2)＝0， ∴b2＋a2＝c2， ∴△ABC是直角三角形 1．(周口模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋kx－k－1＝0 有两个相等的实数根，则k的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．如果关于x的一元二次方程kx2－ eq \r(2k＋1) x＋1＝0 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( ) A．k＜ eq \f(1,2) B．k＜ eq \f(1,2) 且k≠0 C．－ eq \f(1,2) ≤k＜ eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2) ≤k＜ eq \f(1,2) 且k≠0 (2)根据题意得Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k－3>0，解得k> eq \f(3,4) ， 即k的取值范围为k> eq \f(3,4) (3)根据题意得x1＋x2＝－2k－1，x1·x2＝k2＋1， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝(－2k－1)2－2(k2＋1)＝5， 整理得k2＋2k－3＝0，解得k1＝－3，k2＝1， ∵方程有两个实数根时，k＞ eq \f(3,4) ，∴k＝1 7．已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 x2－mx＋ eq \f(m,2) － eq \f(1,4) ＝0的两个实数根. (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴Δ＝m2－4( eq \f(m,2) － eq \f(1,4) )＝0， 解得m＝1，把m＝1代入方程，得x2－x＋ eq \f(1,4) ＝0，解得x1＝x2＝ eq \f(1,2) ， ∴菱形ABCD的边长是 eq \f(1,2) (2)把AB＝2代入x2－mx＋ eq \f(m,2) － eq \f(1,4) ＝0，得m＝ eq \f(5,2) ，将m＝ eq \f(5,2) 代入原方程， 得x2－ eq \f(5,2) x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝ eq \f(1,2) ，∴AD＝ eq \f(1,2) ， ∴平行四边形ABCD的周长是2×(2＋ eq \f(1,2) )＝5 $