3.2.2 双曲线的几何性质-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

3.2.2 双曲线的几何性质 一、双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 二、等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： 1、离心率：等轴双曲线的离心率为：； 2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为：； （2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°. 三、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 四、弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 题型一 由双曲线的方程求几何性质 【例1】求下列双曲线的焦点和顶点坐标、实轴和虚轴的长、焦距： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】（1），， ，，， 双曲线的实轴、虚轴的长，焦距， 顶点，，，、焦点的坐标，． （2），， ，，， 双曲线的实轴、虚轴的长，焦距， 顶点，，，、焦点的坐标，． （3），， ，，， 双曲线的实轴、虚轴的长，焦距， 顶点，，，、焦点的坐标，． 【变式1-1】双曲线的左顶点与右焦点间的距离为（ ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【解析】由，知，， 所以左顶点与右焦点间的距离为．故选：D. 【变式1-2】（多选）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ） A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点 C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等 【答案】CD 【解析】双曲线的渐近线为：， 双曲线的渐近线方程为：，故A错误； 双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误； 双曲线的离心率， 双曲线的离心率，，故C正确； 双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确. 故选：CD． 【变式1-3】已知双曲线，当变化时，下列关于双曲线说法正确的是（ ） A．顶点坐标不变 B．焦距不变 C．离心率不变 D．渐近线不变 【答案】D 【解析】①若，则双曲线的标准方程为， 顶点坐标为，焦距为， 离心率为，渐近线方程为； ②若，则双曲线的标准方程为， 顶点坐标为，焦距为， 离心率为，渐近线方程为. 因此，不论怎么变化，双曲线的渐近线不变.故选：D. 题型二 由几何性质求双曲线的标准方程 【例2】双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线离心率为，得，所以所以， 所以双曲线方程为， 将代入得. 所以双曲线的方程为.故选：D 【变式2-1】已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的一个顶点是， ，且焦点在轴上， 渐近线方程为， ，， 该双曲线的标准方程为，故选A． 【变式2-2】与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为______． 【答案】 【解析】设双曲线方程为，将点代入， 即，解得或（舍去）， 故所求双曲线方程为． 故答案为： 【变式2-3】（多选）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】椭圆的焦点，可得， 设椭圆的方程为， 可得，， 解得，， 所求的椭圆方程为 设双曲线的方程为：， 可得，， 解得，， 所求的双曲线方程为． 故选：BC 题型三 与双曲线渐近线相关的问题 【例3】已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线焦点在轴上，可设渐近线方程为：， 因为双曲线