专题2.2 几何图形中的翻折变换（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（浙教版）

专题2.2 几何图形中的翻折变换 【典例1】如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1，S2． （1）若AC＝3，求S1的值． （2）若S1+S2＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少． 【思路点拨】 （1）设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，依据S△ABMAB×DMBM×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值． （2）如图1，依据S△ABMAB×DMBM×AC，即可得到DMx，进而得出S1；如图2，依据S△ABNAB×ENAN×BC，即可得到ENx，进而得出S2，再根据S1+S2＝26，即可得到x2＝12，进而得出单个直角三角形纸片的面积． 【解题过程】 解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3， ∴BC＝4，AB＝5， 由折叠可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3， 设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x， ∵S△ABMAB×DMBM×AC， ∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x）， 解得x， ∴S1BD×DM． （2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x， 如图1，由折叠可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°， ∵S△ABMAB×DMBM×AC， ∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x， 解得DMx， ∴S1BD×DM2xx； 如图2，由折叠可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN， ∴AE＝x，AN＝3x﹣EN， ∵S△ABNAB×ENAN×BC， ∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x， 解得ENx， ∴S2AE×ENxx， ∵S1+S2＝26， ∴26， 解得x2＝12， ∴S△ABC6x2＝72． 1．（2022春•镇平县期末）如图①是一个直角三角形纸片，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，如果C′为AB的中点，△BCD的面积为1，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 根据翻折变换的性质可得S△BCD＝S△BC′D＝1，再利用全等三角形的判定与性质得出S△ADC′＝S△BCD＝S△BC′D＝1，最后利用△ABC的面积＝S△ADC′+S△BDC′+S△BCD得出结果． 【解题过程】 解：∵△ABC为直角三角形， ∴∠C＝∠BC′D＝∠AC′D＝90°， 由折叠的性质得：△BCD≌△BC′D， ∴S△BCD＝S△BC′D＝1， ∵C′为AB的中点， ∴AC′＝BC′， ∵∠BC′D＝∠AC′D＝90°，DC′＝DC′， ∴△ADC′≌△BDC′（SAS）， ∴S△ADC′＝S△BCD＝S△BC′D＝1， ∴△ABC的面积＝S△ADC′+S△BDC′+S△BCD＝3， 故选：B． 2．（2022春•槐荫区期末）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，以BC所在直线为对称轴翻折△ABC得到△A′BC，点A的对称点为A′，连结BA′，AH⊥BA′于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（　　） A．A′C＝A′H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A′H 【思路点拨】 由折叠的性质可得AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可证△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC． 【解题过程】 解：∵将△ABC沿直线BC折叠， ∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°， ∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC， ∵AH⊥A'B， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°， ∴∠A'BC＝∠HAA'， 又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°， 在△BHE和△AHA'中， ， ∴△BHE≌△AHA'（AAS）， ∴BE＝AA'， ∴BE＝2AC， 故选：B． 3．（2022春•江岸区校级月考）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点M处．折痕为AP，再将△PCM和△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处．下面结论：①M是CD的中点；②∠ABP＝90°；③MN⊥AP；④AD∥BC．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 由折叠的性质可得∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，DM＝MN＝CM，可得M是CD的中点，故①正确；可得由平角的性