4.2.1等差数列的概念（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学上学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1等差数列的概念（精讲） 目录 第一部分：思维导图（总览全局） 第二部分：知识点精准记忆 第三部分：课前自我评估测试 第四部分：典 型 例 题 剖 析 重点题型一：等差数列的判定 重点题型二：等差数列的通项公式及其应用 重点题型三：等差中项及其应用 重点题型四：等差数列性质的应用 重点题型五：等差数列的综合问题 重点题型六：构造等差数列 重点题型七：等差数列的实际应用 重点题型八：等差数列在传统文化中的应用问题 第五部分：新定义问题 第六部分：高考（模拟）题体验 第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局 第二部分：知 识 点 精 准 记 忆 知识点一：等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 知识点二：等差中项 由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 . 知识点三：等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 知识点四：等差数列与一次函数 等差数列 一次函数 表达式： 不同点 ①定义域*. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点. ①定义域为. ②图象是一条直线. 相同点 ①当时,等差数列的通项公式与一次函数的 解析式都是关于自变量的一次式. ②等差数列中的,,,四个量中知三求一和 一次函数中求,的方法都是解方程(组). 知识点五：等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 知识点六：等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 知识点七：等差数列的性质 ① ②，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试 1．（2022·四川成都·高一期末（文））等差数列中，若，，则公差（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______． 3．（2022·全国·高二课时练习）是等差数列，且，则______． 4．（2022·湖南·高二期末）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题，其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个正整数为a，当时，符合条件的所有a的个数为______． 5．（2022·上海市建平中学高一期末）已知等差数列{}满足，则___． 第四部分：典 型 例 题 剖 析 重点题型一：等差数列的判定 典型例题 例题1．（2022·全国·高二课时练习）若数列满足，则数列（       ） A．是公差为1的等差数列 B．是公差为的等差数列 C．是公差为的等差数列 D．不是等差数列 例题2．（2022·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：数列是等差数列. 例题3．（2022·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断它是否为等差数列： (1)； (2)； (3)； (4). 同类题型归类练 1．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列： (1)－1，－1，－1，－1，－1； (2)1，，，； (3)1，0，1，0，1，0； (4)2，4，6，8，10，12； (5)7，12，17，22，27. 2．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，点在直线上，且．求证：数列是等差数列． 重点题型二：等差数列的通项公式及其应用 典型例题 例题1．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（       ）． A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项 例题2．（2022·广东肇庆·高二期末）在等差数列中，，则（       ） A．14 B．16 C．18 D