专题09 方程中常见设元方法技巧-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题09 方程中常见设元方法技巧 一、直接设元法 【学霸笔记】 “直接设元”就是题目中要求的量是什么，就设这个量为未知数，是最常用的设元法. 【典例】中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们羊数就一样了”．若设甲有x只羊，则下列方程正确的是（　　） A．x+1＝2（x﹣2） B．x+3＝2（x﹣1） C．x+1＝2（x﹣3） D． 【解答】解：∵甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的两倍”．甲有x只羊， ∴乙有1只， ∵乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”， ∴1+1＝x﹣1，即x+1＝2（x﹣3） 故选：C． 【巩固】10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报2的人心里想的数是　 　． 二、间接设元法 【学霸笔记】 所设的量是不需要求的，但能够更容易找出题中的等量关系，对于一些采用直接设元法列方程比较困难的问题，可以采用间接设元法会比较容易.（所设未知量与所求未知量要有一定联系） 解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下： （1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和； （2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下： ①求出各个临界点； ②根据未知数的取值范围进行分类讨论； ③去绝对值符号，化为一般方程求解. 【典例】如图是一个长方形色块图，由6个大小不完全相同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个长方形的面积为　 　． 【解答】解：设右下角正方形的边长为x，则其余正方形的边长依次为x+1，x+2，x+3， ∴2x+5＝3x+1， 解得x＝4， ∴矩形的边长为13，11， ∴矩形的面积为13×11＝143． 故答案为143． 【巩固】小明家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码的数字和等于它的最后两位数．问：小明家的电话号码是多少？ 三、辅助设元法 【学霸笔记】 对于一些较为复杂的问题，往往数量之间关系交错复杂，可采用增设未知数，在已知条件和所求结论之间架起一座“桥梁”，从而理清各个数量间的关系，这种设元方法叫做辅助设元法，也叫参数法或设而不求法. 【典例】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ （2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 【解答】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草． （1）由题意得： 由②﹣①得 b＝12c④ 由③﹣②得 （x﹣8）b＝（16x﹣168）c⑤ 将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得 x＝18 （2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y12． 答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛． 【巩固】有两块锌铜合金的质量分别为10千克、15千克，这两块合金的含铜的质量分数不同，现分别从这两块合金中各切下一块质量相同的合金，交换后分别与另一块合在一起熔化，冷却后测得这两块合金含铜的质量分数相同，求切下的一块合金的质量． 四、整体设元法 【学霸笔记】 有些问题未知量较多，已知关系又少，若未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少元的个数，这种设元的方法叫做整体设元法. 【典例】以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”＝3，那么被乘数是　 　． 【解答】解：设“神舟五号“＝A，“飞天”＝B， 则3×（100A+B）＝10000B+A， 300A+3B＝10000B+A， 299A＝9997B， 23A＝769B，而23和769互质， 故B＝23n，A＝769n（n是自然数），2≤n≤4． 但A的首位数字为3． 只可能n＝4，从而A＝3076，B＝92． 所以被乘数是307692． 故答案为307692． 【巩固】一个六位数的3倍等于，则这个六位数是 　 　． 巩固练习 1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时