3.2.1 双曲线的标准方程-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

3.2.1 双曲线的标准方程 一、双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 2、焦点：两个定点、 3、焦距：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为. 4、双曲线就是下列点的集合：． 5、要点注意： （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 三、待定系数法求双曲线标准方程的方法 四、由双曲线标准方程求参数范围 1、对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. 2、对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. 3、已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 五、求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积， 这一结论适用于选择或选择题。 题型一 对双曲线定义的理解 【例1】设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于（ ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】A 【解析】根据双曲线的定义且P在第一象限，所以|PF1|−|PF2|=2a=10故选：A 【变式1-1】已知A（0，－4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，当a＝3和4时，点P轨迹分别为（ ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线 【答案】D 【解析】∵A(0,－4)，B（0，4），∴|AB|＝8， 又|PA|－|PB|＝2a， ∴当a＝3时，|PA|－|PB|＝6＜8， 由双曲线定义可得点P的轨迹为双曲线的上支； 当a＝4时，|PA|－|PB|＝8， ∴点P的轨迹为y轴上的以点B为端点的方向向上的射线；故选：D． 【变式1-2】若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意可知，，，， 若，则，或1（舍去）， 若，，或13， 故“”是“”的充分不必要条件．故选：A． 【变式1-3】设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为（ ） A．22 B．14 C．10 D．2 【答案】B 【解析】将化为， 所以，， 由双曲线的定义，得：， 即， 所以或（舍）.故选：B. 【变式1-4】已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于､两点，若，则等于___________. 【答案】 【解析】根据题意画图如下： 由双曲线定义可得：，， ， 又已知， ，得. 故答案为：. 题型二 求双曲线的标准方程 【例2】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，则， 结合条件可知，双曲线的标准方程为.故选：C. 【变式2-1】经过点，的双曲线的方程是______. 【答案】 【解析】设双曲线的方程为，因为P、Q两点在双曲线上， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式2-2】与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为___________. 【答案】 【解析】椭圆，其焦点坐标为， 设所求双曲线方程为：，则， 因为双曲线过点，则，则， 故所求双曲线方程为：. 故答案为：. 【变式2-3】求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1），经过点； （2）焦点轴上，且过点，. 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为， 将代入，得． 又点在双曲线上， 有，由此得，不合题意，舍去． 当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)， ∵a=4，故