第四章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

考情分析 考题 分值 题型 难度 考点 考向 核心素养 2020新高考 全国卷ⅠT10 5 多选题 中 三角函数 诱导公式、三角函数性质 数学运算、逻辑推理 2020新高考 全国卷ⅠT17 10 解答题 中 解三角形 开放条件，正、余弦定理应用 逻辑推理、数学运算 2020天津卷T8 5 单选题 难 三角函数 三角函数的图象及性质 逻辑推理、数学运算 考情分析 2020天津卷T16 14 解答题 中 解三角形 解三角形、三角恒等变换 逻辑推理、数学运算 2021全国乙卷T7 5 单选题 中 三角函数 三角函数图象的平移 逻辑推理、数学运算 2021新高考 全国卷ⅠT6 5 单选题 中 三角恒 等变换 二倍角、同角三角函数关系式 逻辑推理、数学运算 2021全国甲卷T16 12 填空题 难 解三角形 三角函数的图象与性质 逻辑推理、数学运算 考情分析 2021新高考 全国卷ⅡT18 12 解答题 中 解三角形 利用正余弦定理解三角形，求面积 逻辑推理、数学运算 2021全国乙卷T9 5 单选题 中 解三角形 解三角形的实际应用 逻辑推理、数学运算 第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 要点一 角的概念的推广 1．定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．分类： 3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． [注意]　终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 1．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　) A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：AC　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z， 则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z． 故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．故选A、C． 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：C　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C． 要点二 弧度制的定义和公式 1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． 2．公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 [注意]　有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用； (2)利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为(　　) A．20 cm B．14 cm C．10π cm D．8π cm 解析：C　秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为×2π＝， 因此，秒针的端点所走的路线长为×12＝10π(cm)． 故选C． 4．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________． 解析：如图所示，设角的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，则以OB为终边且在0到2π之间的角为，故以OB为终边的角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋<4π，∴－<k<．∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1．∴α＝－，－，，． 答案：－，－，， 要点三 任意角的三角函数 设α是一个任意角，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)． 5．若sin α<0，且tan α>0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：C　由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或与y轴的负半轴重合；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C． [易错提醒]　三角函数符号记忆不准致误． [记结论] 1．一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二