第三章 第2节 第2课时 导数与函数的极值、最值-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第二课时　导数与函数的极值、最值 要点一 函数的极值 1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [注意]　极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点． 1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：A　导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个． 所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点． 2．函数 g(x)＝－x2的极值点是________，函数f(x)＝(x－1)3的极值点________(填“存在”或“不存在”)． 解析：结合函数图象(图略)可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0．因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点． 答案：0　不存在 [易错提醒]　混淆极值与极值点的概念致误． 要点二 函数的最值 1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3．函数g(x)＝x2在区间[1，2]上的最小值和最大值分别是________，g(x)在(1，2)上的最小值和最大值________． 解析：根据函数的单调性及最值的定义可得g(x)＝x2在[1，2]上单调递增且连续，则g(x)max＝4，g(x)min＝1；g(x)＝x2在(1，2)上不存在最小值，也不存在最大值． 答案：1，4　不存在 [易错提醒]　连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值． 4．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 解析：容积V＝(a－2x)2x，0<x<，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝或x＝(舍去)，则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝a3． 答案：a3 [记结论] 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． [提速度] 1．若函数 f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为(　　) A．4 B．2或6 C．2 D．6 解析：C　函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2， 由题意知， 在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得 c＝2或c＝6， 又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在 x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时， f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2． 2．函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1＋e B．－1 C．1 D．0 解析：C　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＋2＝1． 题型一 利用导数解决函数的极值问题 　根据图象判断函数的极值 [例1]　(2021·郑州模拟) 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．