第三章 第2节 第1课时 导数与函数的单调性-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第二节　导数在研究函数中的应用 第一课时　导数与函数的单调性 要点 函数的单调性与导数的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增； 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减． 特别地，若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数． [注意]　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 　　 1．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2，1)上f(x)单调递增 B．在区间(2，3)上f(x)单调递减 C．在区间(4，5)上f(x)单调递增 D．在区间(3，5)上f(x)单调递减 解析：BC　在区间(－2，1)上，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增，A错误；在区间(3，5)上，当x∈(3，4)时，f′(x)<0，当x∈(4，5)时，f′(x)>0，即f(x)在(3，4)上单调递减，在(4，5)上单调递增，D错误．在(4，5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)单调递增．在(2，3)上f′(x)<0恒成立，f(x)单调递减，故B、C正确． 2．函数f(x)＝2x－ln x＋5的单调递减区间为________． 解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝2－＝，令f′(x)<0得0<x<． 答案： [易错提醒]　利用导数求单调区间易忽视原函数的定义域致误． 3．若函数f(x)＝sin x＋kx在(0，π)上是增函数，则实数k的取值范围为________． 解析：∵f′(x)＝cos x＋k≥0， ∴k≥－cos x，x∈(0，π)恒成立． 当x∈(0，π)时，－1<－cos x<1， ∴k≥1． 答案：[1，＋∞) [易错提醒]　求参数范围易忽视等号成立致误． [记结论] 1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． [提速度] 1．已知f(x)是定义在(a，b)内的可导函数，则“f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)上为增函数”的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 解析：D　∵f′(x)＝－sin x－1<0， ∴f(x)在(0，π)上单调递减，故选D． 3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________． 解析：f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex． 令f′(x)>0，解得x>2．故所求单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 题型一 证明(判断)函数的单调性 [例1]　(2021·成都七中检测)已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． [解]　函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝． ①当0<a<1时，>1， ∴x∈(0，1)和时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； ②当a＝1时，＝1， ∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>1时，0<<1， ∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 　(变条件)若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？ 解：a>0时，讨论同上；当a≤0时，ax－1<0， ∴x∈(0，1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x