第二章 第9节 函数与数学模型-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第九节　函数与数学模型 要点一 常见的8种函数模型 1．正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)． 2．反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)． 3．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)． 4．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． 5．指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)． 6．对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)． 7．幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)． 8．“对勾”函数模型：y＝x＋(a>0)． [注意]　(1)形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－ ]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减； ②当x>0时，x＝时取最小值2，当x<0时，x＝－时取最大值－2． (2)函数f(x)＝＋(a>0，b>0，x>0)在区间(0， ]内单调递减，在区间[，＋∞)内单调递增． 1．(多选)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 解析：ABC　由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误． 2．某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　) A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m) B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N) C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m) D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N) 解析：B　设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…，则y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m且x∈N)． 3．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为______________． 解析：设该市这两年的年平均增长率为x， 则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝－1． 答案：－1 [易错提醒]　建立函数模型出错致误． 要点二 三种函数模型的性质 　 　函数 性质　 　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随α值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xα<ax [注意]　幂函数模型y＝xα(α>0)可以描述增长幅度不同的变化，当α值较小(α≤1)时，增长较慢；当α值较大(α>1)时，增长较快． 4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0．50 0．99 2．01 3．98 y －0．99 0．01 0．98 2．00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：D　根据x＝0．50，y＝－0．99，代入计算，可以排除A；根据x＝2．01，y＝0．98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D． [记结论] “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． [提速度] 　(多选)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢， g(x)的衰减速度越来越快 B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 解析：ABD　在同一平面直角坐标系中画出f(x