第二章 第8节 函数与方程-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第八节　函数与方程 要点一 函数的零点 1．零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． [注意]　函数的零点不是函数y＝f(x)图象与x轴的交点，而是y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数． 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0) B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1 C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点 D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 解析：BD　根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1．函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B、D正确，A、C错误． 2．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2和0 C．0 D．－2和0 解析：B　由条件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零点为0和2．故选B． 要点二 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． [注意]　函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件． 3．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136．136 15．552 －3．92 10．88 －52．488 －232．064 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：B　由函数零点存在定理知，函数在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1，6]上至少有3个零点． 4．若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为________． 解析：(1)当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点； (2)当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1． 综上，实数a的取值为a＝0或a＝1． 答案：0或1 [易错提醒]　忽视对二次项的讨论致误． 要点三 二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5．用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0．001，则结果计算的条件是(　　) A．|a－b|<0．1 B．|a－b|<0．001 C．|a－b|>0．001 D．|a－b|＝0．001 解析：B　精确度为0．001，应满足的条件为|a－b|<0．001，故选B． [记结论] 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． [提速度] 　①若函数f(x)在区间[2，6]上满足f(2)·f(6)<0，则函数在此区间内有零点； ②设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内有唯一实数根； ③设f(x)在区间[a，b]上是连续的函数，且f(a)·f(b)>0，则函数f(x)在[a，b]上一定没有零点． 以上命题中，真命题的序号是________． 解析：对于①，若f(x)在区间[2，6]上有零点，需f(x)的图象是连续不断的，故①错误；对于②，满足条件，正确；对于③，f(x)在[a，b]内可以有多个零点，故③错误． 答案：② 题型一 函数零点所在区间的判断 　　 1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　) A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：B　∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0， ∴f(1)·f(2)<0， ∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数， ∴f(x)的零点所在的区间是(1，2)． 2．若a<b<c，则函数f