第二章 第6节 对数与对数函数-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第六节　对数与对数函数 要点一 对数的概念及运算性质 一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN． (1)指数与对数之间的关系 (2)对数的性质 ①负数和0没有对数； ②loga1＝0； ③logaa＝1． (3)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (4)对数换底公式 logab＝(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)． 1．使式子log(x－2)(－x2＋x＋6)有意义的x的取值范围是(　　) A．(－2，3)　　　　　　 B．(2，3) C．[－2，3] D．(2，3] 解析：B　要使式子log(x－2)(－x2＋x＋6)有意义，则解得2<x<3．故选B． 2．(多选)下列各式正确的是(　　) A．＝loga2 B．lg 2＋lg 5＝1 C．(ln x)2＝2ln x D．lg＝lg x 解析：BD　A选项，由换底公式，可得＝log36＝1＋log32，故A错误； B选项，lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝1，故B正确； C选项，(ln x)2＝ln x×ln x≠2ln x，故C错误； D选项，lg ＝lg x＝lg x，故D正确．故选B、D． 3．已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________． 解析：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，解得x＝y或x＝4y．由已知得x>0，y>0，x－2y>0，所以x＝y不符合题意，当x＝4y时，得＝4． 答案：4 [易错提醒]　对数的运算性质不熟致误． 4．(log29)·(log34)＝________． 解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4． 答案：4 要点二 对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． [注意]　y＝logax的3个特征 (1)底数a>0，且a≠1； (2)自变量x>0； (3)函数值域为R． 5．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________． 解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1． 答案：1 要点三 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0 当x>1时，恒有y>0； 当0<x<1时，恒有y<0 当x>1时，恒有y<0； 当0<x<1时，恒有y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论 　　 6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是________(填序号)． ①a＞1，c＞1；②a＞1，0＜c＜1；③0＜a＜1，c＞1；④0＜a＜1，0＜c＜1． 解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1．又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1． 答案：④ [易错提醒]　对数函数的图象特征不熟致误． 7．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，8]上的最大值与最小值的差是2，则a的值为________． 解析：当a>1时，依题意得loga8－loga2＝2，解得a＝2． 当0<a<1时，依题意得loga2－loga8＝2， 解得a＝． 答案：2或 [易错提醒]　忽视对底数的讨论致误． 要点四 反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． 8．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数图象过点(4，2)，则a＝(　　) A．3 B．2 C．9 D．4 解析：B　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数图象过点(4，2)，指数函数图象过点(2，4)，可得4＝a2，解得a＝2，故选B． [记结论] 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logbn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M>0)． 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．对数恒等式 al