第二章 第5节 指数与指数函数-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第五节　指数与指数函数 要点一 幂的运算 1．指数与指数运算 (1)根式的性质 ①()n＝a(a使有意义)．→ ②当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝ (a>0，m，n∈N*，n＞1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 4．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂． 1．计算：(－27)×9－＝(　　) A．－3　　　　　　　　 　 B．－ C．3 D． 解析：D　(－27)×9－＝[(－3)3]×(32)－＝(－3)2×3－3＝32－3＝3－1＝．故选D． 2．化简(x＜0，y＜0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 解析：D　因为x＜0，y＜0，所以＝(16x8·y4)＝(16)(x8)(y4)＝2x2|y|＝－2x2y． [易错提醒]　忽视a的范围导致(a∈R)化简致误． 3．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________． 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝． 则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2． 答案：　2 要点二 指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． [注意]　形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 4．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________． 解析：根据指数函数的定义，得解得 答案：－1　2 要点三 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为R，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0，1) 当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1 在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数 注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究 　　 5．函数y＝ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 解析：由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，因而在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax－1－1的图象恒过点(1，0)． 答案：(1，0) 6．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析：若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝． 答案：2或 [易错提醒]　忽视底数a的范围致误． 7．函数f(x)＝2的值域为________． 解析：∵f(x)的定义域为{x|x≠1}，∴≠0， 故f(x)>0且f(x)≠1，即函数的值域为(0，1)∪(1，＋∞)． 答案：(0，1)∪(1，＋∞) [易错提醒]　复合函数问题容易忽略指数函数的值域致误． [记结论] 1．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，． 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． [提速度] 1．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 解析：C　函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，故可排除选项A、B、D． 2．已知实数a，b满足＝，则下面给出的五种关系，其中可能成立的为________(填序号)． ①0<a<b；②0<b<a；③b<a<0；④a<b<0；⑤b＝a＝0． 解析：由题意可令f(x)＝，g(x)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝，g(x)＝的图象，如图所示． 若f(a)＝g(b)>1，即＝>1，则a<b<0； 若0<f(a)＝g(b)<1，即0<＝<1，则0<b<a， 若f(a)＝g(b)＝1，即＝＝