第二章 第4节 幂函数与二次函数-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第四节　幂函数与二次函数 要点一 幂函数 1．幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③只有一项． 2．常见的五种幂函数的图象和性质比较： 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 　　 1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A．　　　　　　　　　 B．1 C． D．2 解析：C　由幂函数的定义，知 ∴k＝1，α＝．∴k＋α＝． [易错提醒]　对幂函数的定义理解不清致误． 2．(多选)(2021·陕西武功高三模拟)已知幂函数f(x)＝(m－3)xm，则下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)的图象过原点 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的图象关于y轴对称 D．f(x)＝x4 解析：ACD　∵f(x)＝(m－3)xm是幂函数，∴m－3＝1，解得m＝4，∴函数解析式是f(x)＝x4， 且当x＝0时，y＝f(0)＝0，即函数f(x)的图象过原点，又函数f(x)的图象关于y轴对称，∴选项A、C、D正确． 3．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　) A．m＝2 B．m＝－1 C．m＝－1或m＝2 D．m≠ 解析：A　因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝2． 要点二 二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 续表 单调性 在x∈(－∞，－)上单调递减； 在x∈[－，＋∞)上单调递增 在x∈(－∞，－)上单调递增； 在x∈[－，＋∞)上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 　　 4．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 解析：D　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D． 5．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0(填“>”“<”或“＝”)． 解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0，1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0． 答案：> [记结论] 1．有关幂函数的几个结论 对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数，x>0(或x≥0)时，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”； (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”． 3．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]： (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)； (3)当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)； (4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． [提速度] 1．(2021·山西朔州期末)有四个幂函数： ①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x． 某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质： (1)偶函数； (2)值域是{y|y∈R，且y≠0}； (