第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第三节　函数的奇偶性与周期性 要点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 [注意]　(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 1．下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x－1　　　　　 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 解析：D　f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)． 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：B　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝． 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝． [易错提醒]　忽视奇偶函数的定义域关于原点对称致误． 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：A　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2． 4．设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________． 解析：由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0；当－5≤x<－2时，f(x)>0．综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]． 答案：(－2，0)∪(2，5] 要点二 函数的周期性 1．周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 5．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) 解析：D　结合周期函数的定义可知，A、B、C均为周期函数，D不是周期函数．故选D． 6．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝ 则f＝________． 解析：由题意得：f＝f ＝－4×＋2＝1． 答案：1 [记结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)； (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称． [提速度] 1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f＝3，则f＝________． 解析：∵f＝－f(x)，∴f(x＋1)＝f(x)， 即f(x)的一个周期为1．∴f＝f＝3． 答案：3 [易错提醒]　找不到周期函数的周期致误． 2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则实数a＝________． 解析：由f(1＋x)＝f(1－x)，故函数关于x＝1对称，即－＝1，解得a＝－2． 答案：－2 题型一 函数的奇偶性 　判断函数的奇偶性 [例1]　(2021·日照模拟)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝(x＋1) ； (3)f(x)＝ (4)f(x)＝． [解]　(1)由⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f