第二章 第2节 函数的单调性与最值-（教参 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第二节　函数的单调性与最值 要点一 增函数、减函数、单调性及单调区间 定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 1．增函数：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 2．减函数：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 3．单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． [注意]　(1)增(减)函数定义中的x1，x2的3个特征 ①任意性； ②有大小，即x1<x2(x1>x2)； ③同属于一个单调区间，三者缺一不可． (2)有关单调区间的2点说明 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示； ②有多个单调区间应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 1． 函数f(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增 B．函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减 C．函数f(x)在区间[－1，4]上单调递减 D．函数f(x)在区间[2，4]上单调递增 解析：A　由题图可知函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减，故选A． 2．函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　 B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　由x2－4>0可得x<－2或x>2，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．设t＝x2－4，则t在(2，＋∞)上单调递增，又函数y＝log2t为增函数，∴函数f(x)＝log2(x2－4)在(2，＋∞)上单调递增， ∴函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．故选C． [易错提醒]　求单调区间忘记定义域致误． 3．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则a的值为________． 解析：函数图象的对称轴为直线x＝1－a，由1－a＝4，得a＝－3． 答案：－3 [易错提醒]　混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念致误． 4．已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意得 解得－1≤a<1． 答案：[－1，1) [易错提醒]　利用函数单调性解不等式易忽视函数的定义域致误． 要点二 函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M． 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)． [注意]　函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到； (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 5．函数y＝在区间[2，3]上的最小值为(　　) A．2 B． C． D．－ 解析：B　因为y＝在区间[2，3]上单调递减， 所以ymin＝＝．故选B． [记结论] 1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． [提速度] 1．下列有关函数单调性的说法，不正确的是(　　) A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数 B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数 C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数 D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数 解析：C　由结论1可知选项C的说法不正确． 2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a，b，总有>0成立，则f