1 全等三角形基础100题-中考数学专项提升必刷题（含解析）（全国通用）

全等三角形基础100题 1．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论： ①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC． 其中结论正确的为_____．（填写结论的编号） 【来源】重庆市渝中区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 【答案】①②③ 【解析】 【分析】 ①过点P做PD⊥AC，因为AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明即可得出结论； ②根据BP和CP都是角平分线，即可得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN）=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠ACN，根据外角定理，可以得到∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，即可得到结论； ③由①可得，，故∠APC=∠MPN，因为∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°-∠ABC，代入得∠APC＝90°﹣∠ABC，即可得出结论； ④由①可得，，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论． 【详解】 解：①过点P做PD⊥AC，如图所示： ∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE ∴PM=PD ∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF ∴PM=PN ∴PD=PN ∵PC=PC ∴ ∴∠PCD=∠PCN，故①正确； ②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180° ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN） =-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠CAN ∵外角定理 ∴∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，故②正确； ③由①可得，，且 ∴∠APC=∠MPN ∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360° ∴∠MPN=180°-∠ABC ∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确； ③由①可得，，且 ∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】 本题主要考查了三角形的角平分线以及角度运算，熟练各性质以及严谨的推理是解决本题的关键． 2．如图，在中，、的垂直平分线分别交于、两点，并且相交于点，且，则的度数是______． 【来源】辽宁省铁岭市昌图县2020-2021学年八年级下学期期末数学试题 【答案】 【解析】 【分析】 根据四边形内角和为求出，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，结合图形计算，得到答案． 【详解】 解：、的垂直平分线相交于点，， ， ， 、的垂直平分线分别交于、两点， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 3．如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是______． 【来源】福建省福州市福州屏东中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可以把Q反射到AB的Q点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解． 【详解】 解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时， CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值， ∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小， ∴PC+PQ的最小值即为CM的长度， ∵， ∴CM=，即PC+PQ的最小值为 ， 故答案为． 【点睛】 本题考查线段和最小的问题，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 4．已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E=，OP=，则EF的长度是_____． 【来源】江苏省泰州市姜堰市2017-2018学年八年级（上）期末数学试题 【答案】 【解析】 【分析】 由P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，推出OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，推出∠P1OP2=90°，由此即可判断△P1OP2是等腰直角三角形，由轴对称可得，∠OPE=∠OP1E=45°，∠OPF=∠OP2F=45°，进而得出∠EPF=90°，最后依据勾股定理列方程，即可得到EF的长度． 【详解】 ∵P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称， ∴OP=OP1=OP2=，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2， ∵∠AOB=45°， ∴∠P1OP2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠