专题08 一元一次方程的解法-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题8 一元一次方程的解法 一、解含参的一元一次方程 【学霸笔记】 系数含字母的一元一次方程可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程有唯一解；当时，方程有无数个解；当时，方程无解. 系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等. 【典例】解关于x的方程：m（x﹣n）（x+2m）． 【解答】解：去分母得：4m（x﹣n）＝3（x+2m）， 去括号得：4mx﹣4mn＝3x+6m， 移项合并得：（4m﹣3）x＝4mn+6m， 当4m﹣3≠0时，解得：x， 当4m﹣3＝0，4mn+6m＝0时，方程有无数个解， 当4m﹣3＝0，4mn+6m≠0时，方程无解． 【巩固】已知关于x的一元一次方程2，其中a，b，k为常数． （1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解； （2）试说明当k＝2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值； （3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值． 二、解含有绝对值的方程 【学霸笔记】 解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下： （1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和； （2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下： ①求出各个临界点； ②根据未知数的取值范围进行分类讨论； ③去绝对值符号，化为一般方程求解. 【典例】解方程|x﹣2|+|2x+1|＝7． 【解答】解：当x＜﹣0.5时，2﹣x﹣1﹣2x＝7，解得x＝﹣2； 当﹣0.5≤x＜2时，2﹣x+2x+1＝7，解得x＝4（不符合题意的解要舍去）； 当x≥2时，x﹣2+2x+1＝7，解得x， 综上所述：x＝﹣2，x． 【巩固】关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，求a的值． 巩固练习 1．已知关于x的方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1 2．方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． 3．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（　　） A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个 4．已知方程x3﹣6x﹣10＝0有一根x0满足k＜x0＜k+1，k为正整数，则k＝　3　． 5．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． （1）试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡　 　； （2）试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡　 　． 6．解下列方程： （1）|x+3|﹣|x﹣1|＝x+1 （2）|x﹣1|+|x﹣5|＝4． 7．解关于x的方程|x﹣2|﹣3＝a． 8．当a满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|﹣|x﹣5|＝a有一解？有无数多个解？无解？ 9．已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q＝97的解是1，求代数式40p+101q+4的值． 10．已知关于x的方程和有相同的解，求a与方程的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 一元一次方程的解法 一、解含参的一元一次方程 【学霸笔记】 系数含字母的一元一次方程可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程有唯一解；当时，方程有无数个解；当时，方程无解. 系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等. 【典例】解关于x的方程：m（x﹣n）（x+2m）． 【解答】解：去分母得：4m（x﹣n）＝3（x+2m）， 去括号得：4mx﹣4mn＝3x+6m， 移项合并得：（4m﹣3）x＝4mn+6m， 当4m﹣3≠0时，解得：x， 当4m﹣3＝0，4mn+6m＝0时，方程有无数个解， 当4m﹣3＝0，4mn+6m≠0时，方程无解． 【巩固】已知关于x的一元一次方程2，其中a，b，k为常数． （1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解； （2）试说明当k＝2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值； （3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值． 【解答】解：（1）由题意得：2． ∴3x﹣1﹣2x+6＝12．